Question

\(\sqrt{7-x}+\sqrt{x-5}=x^2-12x+38\)

Answer 1

Phương trình : \(\sqrt{7-x}+\sqrt{x-5}=x^2-12x+38\)(ĐKXĐ: \(5\le x\le7\))

Xét vế trái : \(\left(1.\sqrt{7-x}+1.\sqrt{x-5}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(7-x+x-5\right)\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{7-x}+\sqrt{x-5}\right)^2\le4\Rightarrow\sqrt{7-x}+\sqrt{x-5}\le2\)

(Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki)

Xét vế phải : \(x^2-12x+38=\left(x^2-12x+36\right)+2=\left(x-6\right)^2+2\ge2\)

Do đó : Phương trình tương đương với : \(\begin{cases}\sqrt{7-x}+\sqrt{x-5}=2\\x^2-12x+38=2\end{cases}\)\(\Rightarrow x=6\left(TM\right)\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 6