Ta có: \(a^2b+b^2c+c^2a-ab^2-bc^2-a^2c\)
\(=a^2\left(b-c\right)+a\left(c^2-b^2\right)+bc\left(b-c\right)\)
\(=\left(b-c\right)\left(a^2+bc\right)-a\left(b-c\right)\left(b+c\right)\)
\(=\left(b-c\right)\left(a^2+bc-ab-ac\right)\)
\(=\left(b-c\right)\left(a^2-ab-ac+bc\right)\)
\(=\left(b-c\right)\left\lbrack a\left(a-b\right)-c\left(a-b\right)\right\rbrack=\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)\)
Ta có: \(a^3\left(b^2-c^2\right)+b^3\left(c^2-a^2\right)+c^3\left(a^2-b^2\right)\)
\(=a^3b^2-a^3c^2+b^3c^2-a^2b^3+c^3\left(a^2-b^2\right)\)
\(=a^2b^2\left(a-b\right)-c^2\left(a^3-b^3\right)+c^3\left(a-b\right)\left(a+b\right)\)
\(=\left(a-b\right)\left(a^2b^2+c^3a+c^3b\right)-c^2\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\)
\(=\left(a-b\right)\left(a^2b^2+ac^3+bc^3-a^2c^2-abc^2-c^2b^2\right)\)
\(=\left(a-b\right)\left\lbrack a^2\left(b^2-c^2\right)+ac^2\left(c-b\right)+bc^2\left(c-b\right)\right\rbrack\)
\(=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left\lbrack a^2\left(b+c\right)-ac^2-bc^2\right\rbrack\)
\(=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left\lbrack a^2b+a^2c-ac^2-bc^2\right\rbrack=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\cdot\left\lbrack b\left(a^2-c^2\right)+ac\left(a-c\right)\right\rbrack\)
=(a-b)(b-c)(a-c)\(\left\lbrack b\left(a+c\right)+ac\right\rbrack\)
=(a-b)(b-c)(a-c)(ab+bc+ac)
Ta có: \(C=\frac{a^2b+b^2c+c^2a-ab^2-bc^2-a^2c}{a^3\left(b^2-c^2\right)+b^3\left(c^2-a^2\right)+c^3\left(a^2-b^2\right)}\)
\(=\frac{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left(ab+bc+ac\right)}\)
\(=\frac{1}{ab+bc+ac}\)
