(Nghi binh 20/09)
Cho \(a_1,a_2,...,a_n>0;3\le n\in N.\) Đặt:
\(A_1=\frac{a_1}{a_2+a_3}+\frac{a_2}{a_3+a_4}+...+\frac{a_{n-1}}{a_n+a_1}+\frac{a_n}{a_1+a_2}\)
\(A_2=\frac{a_1}{a_n+a_2}+\frac{a_2}{a_1+a_3}+...+\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}+a_n}+\frac{a_n}{a_{n-1}+a_1}\)
Chứng minh rằng: \(Max\left\{A_1,A_2\right\}\ge\frac{n}{2}\)
Cho \(n\) số \(a_1,a_2,...,a_n\in\left[0;1\right]\)
CMR:\(\left(1+a_1+a_2+a_3+...+a_n\right)^2\ge4\left(a^2_1+a^2_2+a^2_3+...+a^2_n\right)\)
Với \(n>1\) là số nguyên dương cho trước, xét \(\left(a_1,a_2,...,a_n\right)\) và \(\left(b_1,b_2,...,b_n\right)\) là hai hoán vị khác nhau của các số trong bộ \(\left(\dfrac{1}{1},\dfrac{1}{2},...,\dfrac{1}{n}\right)\), đồng thời thỏa mãn điều kiện \(a_1+b_1\ge a_2+b_2\ge...\ge a_n+b_n\).
a) Với \(n=2022\), hỏi có hay không hai hoán vị mà \(a_i\ne b_i,\forall i=\overline{1,2022}\) và \(\dfrac{a_1+b_1}{a_{2022}+b_{2022}}\inℤ\)?
b) Chứng minh rằng ta luôn có \(a_k+b_k\le\dfrac{4}{k}\) với mọi \(k=1,2,...,n\)
c) Hỏi số 4 trong đánh giá ở b) có thể thay bởi số \(c< 4\) để các điều kiện vẫn được thỏa mãn hay không?
Cho đa thức \(P\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\) với \(a_n\ne0\). Giả sử \(\alpha\) là nghiệm của P(x). Chứng minh rằng:
a) \(\left|\alpha\right|< 1+max\left|\dfrac{a_i}{a_n}\right|\left(0\le i\le n-1\right)\)
b) \(\left|\alpha\right|\le2max\left|\dfrac{a_i}{a_n}\right|\left(0\le i\le n-1\right)\)
Cho `x_1; x_2; ....; x_2023` là các số dương đôi một phân biệt sao cho:
`a_n = sqrt((x_1+x_2+...+x_n)(1/(x_1) + 1/(x_2) + ... + 1/(x_n))` là một số nguyên với `n = 1; 2; 3; ...; 2023`.
Chứng minh `a_(2023) >=3034`.
Xác định hệ số của an trong khai triển \(\left(1+x+2x^2+3x^3+...+a_nx^n\right)^2\). Tìm n biết \(a_n=6C^1_n\)
Chứng minh \(\frac{n+1}{n+2}\left(\frac{1}{C^k_{n+1}}-\frac{1}{C^{k+1}_{n+1}}\right)=\frac{1}{C^k_n}\)
Cho các số thực dương x1, x2, ..., xn. Chứng minh rằng
\(\frac{\sqrt{x_1^2-1}}{x_2}+\frac{\sqrt{x_2^2-1}}{x_3}+...+\frac{\sqrt{n_{n-1}^2-1}}{x_n}+\frac{\sqrt{x_n^2-1}}{x_1}\le\frac{n\sqrt{2}}{2}\)
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n>1 thì:
\(\frac{1}{2}< \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+...+\frac{1}{n+n}< \frac{3}{4}\)
Chứng minh \(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^n-1}>\frac{n}{2}\) với n là số tự nhiên
