Question

Mọi người giúp mình bài này với ạ :(((

Cho hai điểm A, B. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng Δ sao cho tích vô hướng \(\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}\)nhỏ nhất khi:

A (1;2), B (3;4), Δ: 3x + 2y +1 = 0

Answer 1

Do \(M\in\Delta\) gọi tọa độ M có dạng \(M\left(m;\frac{-3m-1}{2}\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AM}=\left(m-1;\frac{-3m-5}{2}\right)\\\overrightarrow{BM}=\left(m-3;\frac{-3m-9}{2}\right)\end{matrix}\right.\)

Đặt \(P=\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=\left(m-1\right)\left(m-3\right)+\left(\frac{-3m-5}{2}\right)\left(\frac{-3m-9}{2}\right)\)

\(=m^2-4m+3+\frac{9m^2+42m+45}{4}\)

\(=\frac{13m^2+26m+57}{2}=\frac{13\left(m+1\right)^2+44}{2}\ge22\)

Dấu "=" xảy ra khi \(m=-1\Leftrightarrow M\left(-1;1\right)\)

Answer 2

Lời giải:
Gọi tọa độ điểm $M(a,b)$. Vì $M\in (\Delta)$ nên $3a+2b+1=0(*)$

Ta có:

\(\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=(a-1)(a-3)+(b-2)(b-4)\)

\(=a^2-4a+3+b^2-6b+8=(a-2)^2+(b-3)^2-2\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky kết hợp với $(*)$:

\([(a-2)^2+(b-3)^2](3^2+2^2)\geq [3(a-2)+2(b-3)]^2=(3a+2b-12)^2=(-1-12)^2\)

\(\Rightarrow (a-2)^2+(b-3)^2\geq 13\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=(a-2)^2+(b-3)^2-2\geq 13-2=11\)

Giá trị min này đạt tại \(\frac{a-2}{3}=\frac{b-3}{2}\). Kết hợp với $(*)$ suy ra $a=-1; b=1$
Vậy $M(-1,1)$