Question

\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}=\sqrt{y-1}+\sqrt{y+1}\\x^2+x+12\sqrt{y+1}=36\end{matrix}\right.\)

Answer 1

Điều kiện: \(x,y\ge-1\).

Từ phương trình đầu, suy ra: \(x-y=\sqrt{y^2-1}-\sqrt{x^2-1}\)

Bình phương hai vế, sắp xếp lại, ta được: \(\sqrt{x^2y^2-\left(x^2+y^2\right)+1}=xy-1\)

Tương tự như trên, thu được: \(\left(x-y\right)^2=0\Rightarrow x=y\)

Thay vào phương trình dưới: \(x^2+x+12\sqrt{x+1}=36\)

Đặt: \(t=\sqrt{x+1}\left(t\ge0\right)\Rightarrow t^2\left(t^2-1\right)+12t=36\)

\(\Leftrightarrow t^4-t^2+12t-36=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=2\left(N\right)\\t=-3\left(L\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\sqrt{x+1}=2\Leftrightarrow x=3\left(N\right)=y\)

Vậy: Hệ có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(3;3\right)\)