\(BDT\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc+1-2\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(c-1\right)^2+2c\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)
Từ đây ta thấy trong 3 số a,b,c sẽ có 2 số hoặc cùng \(\ge1\) hoặc cùng \(\le1\).giả sử 2 số đó là a và b suy ra \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)
Vậy BĐT đầu luôn đúng
Thích Dirichlet thì chơi Dirichlet
Theo nguyên lý Dirichlet thì trong ba số (a - 1); (b - 1); (c - 1) luôn tồn tại ít nhất 2 số cùng dấu.
Không mất tính tổng quát ta giả sử hai số đó là (a - 1) và (b - 1).
\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow2c\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow2abc\ge2\left(ac+bc-c\right)\)
Giờ ta cần chứng minh
\(a^2+b^2+c^2+2\left(ac+bc-c\right)+1\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(c-1\right)^2\ge0\)
Dấu = xảy ra khi a = b = c = 1
Em có cách biến đổi tương đương nhưng không đẹp lắm:(
W.L.O.G: \(c=min\left\{a,b,c\right\}\)
\(VT-VP=\left(c-1\right)^2+2c\left(\sqrt{ab}-1\right)^2+\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\left(a+b+2\sqrt{ab}-2c\right)\ge0\)
Ta có đpcm.
Do tính chất đối xứng giữa các biến nên ta giả sử \(c=min\left\{a,b,c\right\}\)
Đặt \(f\left(a,b,c\right)=a^2+b^2+c^2+2abc+1-2\left(ab+bc+ca\right)\)và \(t=\sqrt{ab}\ge c\)
Ta có:
\(\Rightarrow f\left(a,b,c\right)\ge f\left(\sqrt{ab},\sqrt{ab},c\right)=f\left(t,t,c\right)\)
Vậy ta cần chứng minh với t, c > 0 thì: \(f\left(t,t,c\right)\ge0\)(*)
\(\Leftrightarrow c^2+2t^2c-4tc+1\ge0\Leftrightarrow\left(c-1\right)^2+2c\left(t-1\right)^2\ge0\)(đúng)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Không hiểu được: @thangnguyen:c,(a-1), (b-1) vai trò không tương dương=> tại sao? lại g/s thèo chiều có lợi vậy
nếu c=1/2; b=1/2;a=2 thì sao? nghĩa là cái 2 số theo lập luận không phải là a,b mà nó là bc thì tính sao?
Bạn ngonhuminh, nó là \(a,b\) hay \(b,c\) cũng giống nhau cả vì BĐT đề cho là đối xứng.
Nghĩa là bộ \(a,b,c\) đổi thành \(c,a,b\) hay \(a,c,b\) vân vân cũng giống nhau.
Do đó "không mất tính tổng quát" có quyền giả sử \(a,b\) cùng lớn hơn hoặc bé hơn 1.
Em đang nói lý luận của @ Thăng nguyễn Bước cuối: "lúc này không thể ép (a-1)(b-1)>=0
Mà phải ép cả c(a-1)>=0 và c(b-1)>=0
Nếu như @ALIBA ok logic vì khi đó a,b,c vai trò như nhau chưa bị giằng buộc
Thực em chưa hiểu sâu cái nguyên lý này:nhưng từng bước toán phải logic mọi cái không logic=> chưa hoàn hảo
cụ thể
\(ok!..\left(a-b\right)^2+\left(c-1\right)^2+2c\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\\ \) cứ cho cái đúng
rồi giờ phải c/m cái \(2c\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\) với mọi a,b,c>=0
rồi đồng ý (chưa hiểu sâu) trong hai số a,b,c có hai số >+1 hoạc <=1(*)
ok khi đó xẽ xẩy ra a>1 ; c<1 và b cũng nhỏ hơn 1 thủa cái lập luân (*) trên
=> c(b-1)<0
Vậy thôi! Như trên lấy ví dụ cụ thể : a=2, c=b=1/2 thỏa mãn tất
\(2c\left(a-1\right)\left(b-1\right)=1.1.\left(-\frac{1}{2}\right)\ge0\left(sao???\right)\)
cái lý luận trong cách t cho lên đầu hợp hơn nhưng phân tích xong ms thấy nên tiện cho xuống dưới
@vongala
đưa lên trước khi biến đổi không phải hợp lý hơn mà là bắt buộc----> giống lý luận của @ALiba
kính mời quý khách đến nhà hàng của gđ mik đc : 255 Nguyễn Huệ , Q Tân Bình, TP HCM
a=6 b=9 c=4 hihi
Dễ thấy bất đẳng thức có bậc hai đối với mỗi biến do đó ta có thể viết lại bất đẳng thức về dạng đa thức biến a, còn b và c đóng vai trò tham số
Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh là \(a^2+2\left(bc-b-c\right)a+b^2+c^2-2bc+1\ge0\)
Xét \(f\left(a\right)=a^2+2\left(bc-b-c\right)a+b^2+c^2-2bc+1\)
Quan sát đa thức f(a) ta nhận thấy nếu \(bc-b-c\ge0\)thì khi đó ta luôn có \(f\left(a\right)\ge0\), tức là \(a^2+2\left(bc-b-c\right)a+b^2+c^2-2bc+1\ge0\)
Bây giờ ta xét trường hợp sau \(bc-b-c\le0\)
Khi đó ta có \(\Delta'_a=\left(bc-b-c\right)^2-\left(b^2+c^2-2bc+1\right)\)
Để ý đến hệ số của hạng tử bậc hai là số dương nên để \(f\left(a\right)\ge0\)thì ta phải chỉ ra được \(\Delta'_a=\left(bc-b-c\right)^2-\left(b^2+c^2-2bc+1\right)\le0\)
Hay \(bc\left(b-2\right)\left(c-2\right)-1\le0\)
Để ý đến \(bc-b-c\le0\)ta được \(\left(b-1\right)\left(c-1\right)\le1\), lúc này xảy ra các khả năng sau
- Cả (b - 1); (c - 1) cùng nhỏ hơn 1 hay cả b và c đều nhỏ hơn 2, khi đó theo bất đẳng thức Cauchy ta được\(b\left(2-b\right)\le\frac{\left(b+2-b\right)^2}{4}=1\); \(c\left(2-c\right)\le\frac{\left(c+2-c\right)^2}{4}=1\)
Suy ra \(bc\left(b-2\right)\left(c-2\right)\le1\)nên ta có \(bc\left(b-2\right)\left(c-2\right)-1\le0\)
- Trong hai số (b - 1); (c - 1) có một số lớn hơn 1 và một số nhỏ hơn 1 khi đó trong b, c có một số lớn hơn 2 và một số nhỏ hơn 2 suy ra \(bc\left(b-2\right)\left(c-2\right)\le0\)nên ta cũng có \(bc\left(b-2\right)\left(c-2\right)-1\le0\)
Như vậy cả hai khả năng đều cho \(\Delta'_a\le0\)nên bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
