help với ạ
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn
Câu 1: Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(2\sqrt{2}\), cạnh bên bằng 4.
a. Gọi \(\alpha\) là góc tạo bởi hai mặt phẳng \((SAC)\) và \((SCD)\). Tính \(\cos \alpha\)
b. Khoảng cách từ \(B\) đến mặt phẳng \((SCD)\) bằng?
b) \(\cos \left( \frac{2}{2\sqrt{2}} \right) = 60 \, \text{độ}\)
a) Đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2\sqrt{2}\) và \(SA=4.\) Đặt hệ trục tọa độ với:
\(A\left(0;0;0\right):B\left(2\sqrt{2};0;0\right);C\left(2\sqrt{2};2\sqrt{2};0\right);D\left(0;2\sqrt{2};0\right);S\left(\sqrt{2};\sqrt{2};2\sqrt{3}\right)\)
Xét \(\left(SAC\right):\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{SA}=\left(-\sqrt{2};-\sqrt{2};-2\sqrt{3}\right)\\\overrightarrow{SC}=\left(\sqrt{2};\sqrt{2};-2\sqrt{3}\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{n_1}=\left[\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC}\right]=\left(4\sqrt{6};-4\sqrt{6};0\right)=\left(1;-1;0\right)\)
Xét \(\left(SCD\right):\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{SD}=\left(-\sqrt{2};\sqrt{2};-2\sqrt{3}\right)\\\overrightarrow{SC}=\left(\sqrt{2};\sqrt{2};-2\sqrt{3}\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{n_2}=\left[\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{SD}\right]=\left(0;4\sqrt{6};4\right)=\left(0;\sqrt{6};1\right)\)
\(cos\alpha=cos\left(\widehat{\left(SAC\right);\left(SCD\right)}\right)\dfrac{\left|1.0+\left(-1\right).\sqrt{6}+0.1\right|}{\sqrt{1^2+\left(-1\right)^2}.\sqrt{\left(\sqrt{6}\right)^2+1^2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{14}}=\dfrac{\sqrt{21}}{7}\)
\(\Rightarrow\alpha\approx49^0\)
b) \(\left(SCD\right):\sqrt{6}\left(y-2\sqrt{2}\right)+\left(z-0\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(SCD\right):\sqrt{6}y+z-4\sqrt{3}=0\)
\(d\left(B;\left(SCD\right)\right)=\dfrac{\left|\sqrt{6}.0+0-4\sqrt{3}\right|}{\sqrt{\left(\sqrt{6}\right)^2+1^2}}=\dfrac{4\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\dfrac{4\sqrt{21}}{7}\)
