Bài 10:
\(\Leftrightarrow n^2-4n+6n-24+18⋮n-4\)
\(\Leftrightarrow n-4\inƯ\left(18\right)\)
\(\Leftrightarrow n-4\in\left\{-3;-2;-1;1;2;3;6;9;18\right\}\)
hay \(n\in\left\{1;2;3;5;6;7;10;13;22\right\}\)
Bài 1:
Vì \(a,b,c\) là 3 số tự nhiên nhỏ nhất khác 0 thỏa mãn: \(64a=80b=96c\)
=>\(64a=80b=96c=BCNN\left(64;80;96\right)\)
\(64=2^6\) ; \(80=2^4.5\) ; \(96=2^5.3\)
=>\(BCNN\left(64;80;96\right)=2^6.3.5=960\)
=>\(64a=80b=96c=960\)
=>\(a=\dfrac{960}{64}=15\) ; \(b=\dfrac{960}{80}=12\) ; \(c=\dfrac{960}{96}=10\) (đều thỏa mãn điều kiện)
Bài 2:
-Vì \(n⋮3\) nên \(n=3k\) (\(k\in N\))
=>\(n^3+n^2+3=\left(3k\right)^3+\left(3k\right)^2+3=27k^3+9k^2+3=3\left(9k^3+3k^2+1\right)\)
-Do \(9k^3⋮9\) ; \(\left(3k^2+1\right)\)không chia hết cho 9 (\(3k^2+1\) chia 9 dư 1;4;7).
=>\(3\left(9k^3+3k^2+1\right)\) không chia hết cho 9.
-Vậy với \(n\in N,n⋮3\) thì \(n^3+n^2+1\) không chia hết cho 9.
Bài 3:
\(A=1+4+4^2+...+4^{2016}\)
\(4A=4+4^2+4^3+...+4^{2017}\)
\(4A-A=4+4^2+4^3+...+4^{2017}-\left(1+4+4^2+...+4^{2016}\right)\)
\(3A=4^{2017}-1\)
\(A=\dfrac{4^{2017}-1}{3}\)
=>\(B-A=\dfrac{4^{2017}}{3}-\dfrac{4^{2017}-1}{3}=\dfrac{1}{3}\)
Bài 9:
-Gọi \(UCLN\left(7n+10;5n+7\right)=a\left(a\in N\cdot\right)\)
-Ta có: \(\left(7n+10\right)⋮a\)
=>\(\left(35n+50\right)⋮a\)
-Ta có: \(\left(5n+7\right)⋮a\)
=>\(\left(35n+49\right)⋮a\)
=>\(\left[\left(35n+50\right)-\left(35n+49\right)\right]⋮a\)
=>\(1⋮a\)
=>\(a=1\).
-Vậy \(7n+10\) và \(5n+7\) là hai số nguyên tố cùng nhau với \(n\in N\)
Bài 11: Ta có: \(9\le a,b\le0\) và \(a,b\in N\).
\(\overline{7a5}-\overline{8b4}=700+5+\overline{0a0}-\left(800+4+\overline{0b0}\right)\)
\(=700+5+\overline{0a0}-800-4-\overline{0b0}=-100+1+60=-39\)
=>\(\overline{7a5}-\overline{8b4}+\overline{7a5}+\overline{8b4}=-39+n\)
=>\(2.\overline{7a5}=-39+n\)
=>\(2.\left(700+5+\overline{0a0}\right)=-39+n\)
=>\(1400+10+2.\overline{0a0}=-39+n\)
=>\(2.\overline{0a0}=-39-1400-10+n=n-1449\)
Vì \(\left(n-1449\right)⋮9\) (\(n⋮9\) và \(1449⋮9\))
=>\(2.\overline{0a0}⋮9\)
=>\(\overline{0a0}⋮9\)
=>\(a⋮9\) mà \(9\le a\le0\) nen \(a=9\)
=>\(795-\overline{8b4}=-39\)
=>\(\overline{8b4}=834\)mà \(9\le b\le0\) nên \(b=3\).
-Vậy \(a=9;b=3\).
Bài 12:
\(2^n-1-2-2^2-...-2^{100}=1\)
=>\(2^n-\left(1+2+2^2+...+2^{100}\right)=1\)
=>\(2^n-\left(2^{101}-1\right)=1\)
=>\(2^n=2^{201}\)
=>\(n=201\)
