Bài 42:
Chọn \(G\)sao cho \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)khi đó \(G\)là trọng tâm tam giác \(ABC\).
Chọn \(K\)sao cho \(\overrightarrow{KA}-\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}\)khi đó \(\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{AB}\)nên \(KCBA\)là hình bình hành mà \(CB=BA\)nên \(KCBA\)là hình thoi.
\(T=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|+3\left|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|\)
\(=3\left|\overrightarrow{MG}\right|+3\left|\overrightarrow{MK}\right|=3\left(MG+MK\right)\ge3GK\).
Dễ dàng tính được \(GK=\frac{2a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow T\ge2a\sqrt{3}\).
Dấu \(=\)khi \(M\)là giao điểm của \(GK\)và \(AC\).
Bài 41:
a) \(\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}-2\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow\overrightarrow{KA}=2\overrightarrow{BC}\)
b) Chọn \(G\)sao cho \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\).
Chọn \(I\)sao cho \(\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}-2\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\).
\(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=3\left|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}\right|\)
\(\Leftrightarrow3\left|\overrightarrow{MG}\right|=3\left|\overrightarrow{MI}\right|\)
\(\Leftrightarrow MG=MI\)
Tập hợp các điểm \(M\)thỏa mãn ycbt là đường trung trực của \(GI\).
c) \(P=\left|\overrightarrow{NA}+2\overrightarrow{NB}-2\overrightarrow{NC}\right|=\left|\overrightarrow{NI}\right|=NI\)
Để \(P\)đạt GTNN thì \(N\)là hình chiếu vuông góc của \(I\)xuống \(\Delta\).
