Giúp em với em đang cần gấp ạ
1) Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể ko có nước thì sau 12 giờ đầy bể. Sau khi hai vòi cùng chảy 8 giờ thì người ta khóa vòi thứ nhất, còn vòi thứ hai tiếp tục chảy. Do tăng công suất vòi thứ hai lên gấp đôi nên vòi thứ hai đẫ chảy đầy phần còn lại của bể trong 3 giờ rưỡi. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình với công suất bình thường thì sau bao lâu đầy bể.
2) Tìm để PT x2 - 2(m+2)x + 2m + 1 = 0 ( ẩn x) có 2 nghiệm x1, x2 sao cho biểu thức A = x1x2 - x12 + x22 / 4 đạt giá trị lớn nhất.
1. Gọi \(x,y\) lần lượt là số giờ mỗi vòi cần chảy nếu chảy một mình \(\left(x,y>0\right).\) \(V\) là thể tích của bể nước.
Công suất chảy (nước chảy được trong 1 giờ) của vòi 1 là \(\dfrac{V}{x}\), vòi 2 là \(\dfrac{V}{y}\).
Nếu cả 2 cùng chảy: \(\dfrac{V}{x}+\dfrac{V}{y}=\dfrac{V}{12}\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12}\left(1\right)\).
Sau khi chảy được 8 giờ, lượng nước trong bồn là: \(8\left(\dfrac{V}{x}+\dfrac{V}{y}\right)\), suy ra lượng nước còn lại là: \(V-8\left(\dfrac{V}{x}+\dfrac{V}{y}\right)\).
Công suất vòi 2 tăng gấp đôi và thời gian chảy phần còn lại là 3 giờ rưỡi nên:
\(V-8\left(\dfrac{V}{x}+\dfrac{V}{y}\right)=3,5\cdot\dfrac{2V}{y}\Leftrightarrow1-8\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)=\dfrac{7}{y}\left(2\right)\).
Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=28\\y=21\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn).
2. Phương trình có nghiệm khi: \(\Delta'=\left[-\left(m+2\right)\right]^2-\left(2m+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)^2+2\ge0\) (luôn đúng).
Do đó, phương trình có nghiệm với mọi \(m\).
Theo định lí Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\left(m+2\right)\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=2m+1\end{matrix}\right.\)
Theo đề: \(A=x_1x_2-\dfrac{x_1^2+x_2^2}{4}=x_1x_2-\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{4}\)
\(\Rightarrow A=2m+1-\dfrac{4\left(m+2\right)^2-2\left(2m+1\right)}{4}\)
\(=-m^2-m-\dfrac{5}{2}=-\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{9}{4}\le-\dfrac{9}{4}\)
Vậy: \(A_{max}=-\dfrac{9}{4}\Leftrightarrow m=-\dfrac{1}{2}.\)
