Câu a. Giả sử m = a^2 + b^2, n = c^2 + d^2 với a,b,c,d ∈ N, khi đó mn = (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac − bd)^2 + (ad + bc)^2, suy ra mn viết được dưới dạng tổng hai số chính phương nên mn ∈ S
Câu b. Giả sử k = a^2 + b^2 và 13 | k, do 13 = 2^2 + 3^2 nên k·13 = (a^2 + b^2)(2^2 + 3^2) = (2a − 3b)^2 + (3a + 2b)^2, vì 13 | k nên tồn tại t sao cho k = 13t, suy ra t = k/13 cũng viết được dưới dạng tổng hai số chính phương, nên k/13 ∈ S
a) Gọi m = a² + b², n = c² + d²
Khi đó mn = (a² + b²)(c² + d²)
mn = (ac - bd)² + (ad + bc)²
Vậy mn cũng là tổng của hai số chính phương nên mn thuộc S, giải thích, dùng hằng đẳng thức nhân hai tổng bình phương.
b) Gọi k = a² + b² và k chia hết cho 13
Vì 13 = 2² + 3²
Nếu a ≡ 5b mod 13 thì:
k/13 = ((2a + 3b)/13)² + ((3a - 2b)/13)²
Nếu a ≡ -5b mod 13 thì:
k/13 = ((2a - 3b)/13)² + ((3a + 2b)/13)²
Vậy k/13 cũng là tổng của hai số chính phương nên k/13 thuộc S, giải thích, do 5² ≡ -1 mod 13 nên từ 13 chia hết a² + b² suy ra a ≡ 5b hoặc a ≡ -5b mod 13, khi đó các biểu thức trong ngoặc đều là số nguyên.
