1. Chứng minh tứ giác DECB nội tiếp
Theo giả thiết MN vuông góc với AB tại D => góc EDB = 900; góc ACB nội tiếp chắn nửa đường tròn nên góc ACB = 900 hay góc ECB = 900
=> Góc EDB + Góc ECB = 1800 mà đây là hai góc đối của tứ giác DECB nên tứ giác DECB là tứ giác nội tiếp (đpcm)
2. Chứng minh CA là tia phân giác của góc MCN
Ta có MN vuông góc với AB (gt) => A là trung điểm của cung MN => góc ACM = góc ACN (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) => CA là tia phân giác của góc MCN (đpcm)
3. Chứng minh AB2 = AE.AC + BD.AB
Ta có A là trung điểm của cung MN (theo chứng minh trên) => góc AMN = ACM (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) hay góc AME = góc ACM.
Lại thấy góc CAM là góc chung của hai tam giác AME và AMC do đó tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM.
=> \(\frac{AM}{AE}=\frac{AC}{AM}\) => AM2 = AE.AC
Xét tam giác AMB và tam giác MDB có:
MDB = BMB = 90o
Góc B chung => tam giác AMB và tam giác MBD đồng dạng
=> \(\frac{BM}{BD}=\frac{AB}{BM}\)=> BM2 = AB.BD
Áp dụng định lí Pitago trong tam giác ABM vuông tại M ta có AB2 = AM2 + BM2 = AE.AC + AB.BD (đpcm)
4. Hãy xác định vị trí của C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất.
Theo chứng minh trên Góc AMN = Góc ACM => AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ECM;
Nối MB ta có góc AMB = 900, do đó tâm O1 của đường tròn ngoại tiếp tam giác ECM phải nằm trên BM. Ta thấy NO1 nhỏ nhất khi NO1 là khoảng cách từ N đến BM => NO1 vuông góc với BM.
Gọi O1 là chân đường vuông góc kẻ từ N đến BM ta được O1 là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ECM có bán kính là O1M.
Do đó để khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất thì C phải là giao điểm của đường tròn tâm O1 bán kính O1M với đường tròn (O) trong đó O1 là hình chiếu vuông góc của N trên BM.
ừ mà mình đang dùng cosi nhưng gặp chút rắc rối ai giúp mình với
Mình giải được câu a) và b) rồi . Mọi người giúp c) và d) nhé ! (Ưu tiên gải câu c , không giải câu d cũng được ) Cảm ơn!
