Bài 1:
Gọi $d$ là ƯCLN của $a$ và $b$. Khi đó:
$a=dx, b=dy$ với $x,y$ là 2 số nguyên tố cùng nhau.
$p=a+b=dx+dy=d(x+y)$.
Hiển nhiên $x+y\geq 2$ nên nếu $d\geq 2$ thì $p=d(x+y)$ không thể là số nguyên tố (trái giả thiết)
Do đó: $d=1$
Tức là $a,b$ nguyên tố cùng nhau. Ta có đpcm.
Bài 2:
** $a,b$ ở đây là các số tự nhiên.
$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. Để $a^2-b^2$ là SNT thì 1 trong 2 thừa số $a-b, a+b$ phải bằng $1$ và số còn lại là SNT.
Mà: $a-b< a+b$ với $a,b\in\mathbb{N}$ nên $a-b=1$
$\Rightarrow a+b=a^2-b^2$
Bài 3:
Nếu $p$ chia hết cho $3$ thì $p=3$. Khi đó $p^3+2=29$ là số nguyên tố (đpcm)
Nếu $p$ chia $3$ dư $1$. Đặt $p=3k+1$ với $k$ nguyên dương thì $p^2+2=(3k+1)^2+2\vdots 3$
Mà $p^2+2>3$ nên không thể là snt (trái giả thiết, loại)
Nếu $p$ chia $3$ dư $2$. Đặt $p=3k+2$ với $k$ nguyên dương thì $p^2+2=(3k+2)^2+2\vdots 3$
Mà $p^2+2>3$ nên không thể là snt (trái giả thiết)
Vậy $p^3+2=29$ là snt (ta có đpcm)
Bài 4:
Vì $p$ là snt lớn hơn $3$ nên $p$ không chia hết cho $3$. Do đó $p$ có dạng $3k+1$ hoặc $3k+2$ với $k\in\mathbb{N}^*$
Nếu $p=3k+1$ thì $2p+1=2(3k+1)+1=6k+3\vdots 3$. Mà $2p+1>3$ với mọi $p>3$ nên $2p+1$ không là snt (trái giả thiết)
Do đó $p=3k+2$
$\Rightarrow 4p+1=4(3k+2)+1=12k+9\vdots 3$. Mà $4p+1>3$ nên $4p+1$ là hợp số.
Ta có đpcm.
Bài 5:
Nếu $a$ chia hết cho $3$ thì $a=3$. Khi đó $a+10=13$ và $a+14=17$ đều là snt (thỏa mãn)
Nếu $a$ chia $3$ dư $1$ thì $a$ có dạng $3k+1$ ($k$ nguyên dương)
$\Rightarrow a+14=3k+15\vdots 3$. Mà $a+14>3$ nên không là snt (trái yêu cầu đề)
Nếu $a$ chia $3$ dư $2$ thì $a$ có dạng $3k+2$ ($k$ nguyên dương)
$\Rightarrow a+10=3k+12\vdots 3$. Mà $a+10>3$ nên không là snt (trái yêu cầu đề)
Vậy $a=3$ là đáp án duy nhất thỏa mãn.
Bài 6:
$2a+1$ là SLP lẻ nên $2a+1=(2t+1)^3$ với $t$ tự nhiên.
$\Leftrightarrow 2a=8t^3+12t^2+6t$
$\Leftrightarrow a=4t^3+6t^2+3t=t(4t^2+6t+3)$
Vì $a$ là SNT nên 1 trong 2 thừa số $t$ và $4t^2+6t+3$ phải bằng $1$.
Vì $t< 4t^2+6t+3$ nên $t=1$
$\Rightarrow a=13$ (thỏa mãn)
Bài 7:
Nếu $p$ chia hết cho $3$ thì $p=3$. Khi đó $8p-1$ là snt và $8p+1=25$ không phải snt (đpcm)
Nếu $p$ chia $3$ dư $1$ thì $p=3k+1$ với $k$ nguyên dương.
Khi đó: $8p+1=8(3k+1)+1=24k+9\vdots 3$ và $8p+1>3$ nên $8p+1$ không là snt (đpcm)
Nếu $p$ chia $3$ dư $2$ thì $p=3k+2$ với $k$ nguyên dương
Khi đó: $8p-1=8(3k+2)-1=24k+15\vdots 3$ mà $8p-1>3$ nên $8p-1$ không là snt (trái giả thiết)
Vậy ta có đpcm.
Bài 8:
TH1: $n=0$ thì $A=2; B=5$ nguyên tố cùng nhau (đpcm)
TH2: $n\geq 1$:
Giả sử $A,B$ không nguyên tố cùng nhau.
Khi đó, gọi $p$ là ước nguyên tố chung lớn nhất của $A$ và $B$. Ta có:
$B=2(2^n+3^n)+3^n=2A+3^n\vdots p$. Mà $A\vdots p$ nên $3^n\vdots p$
$\Rightarrow p=3$
$A=2^n+3^n\vdots p$ hay $2^n+3^n\vdots 3$
Do đó: $2^n\vdots 3$ (vô lý)
Suy ra điều giả sử là sai.
Tức là $A,B$ nguyên tố cùng nhau.
