Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Bài 1:
Gọi x (học sinh) là số học sinh giỏi của lớp 8A (x ∈ ℕ*, x > 2)
Số học sinh khá là: 2x (học sinh)
Khi giảm số học sinh giỏi đi 2 học sinh thì số học sinh giỏi là: x - 2 (học sinh)
Theo đề bài, ta có phương trình:
2x = 3(x - 2)
2x = 3x - 6
3x - 2x = 6
x = 6 (nhận)
Vậy số học sinh khá của lớp 8A là: 2.6 = 12 học sinh
Bài 2
Gọi x (m) là chiều rộng khu vườn (x > 0)
Chiều dài khu vườn là: x + 5 (m)
Diện tích ban đầu: x(x + 5) = x² + 5x (m²)
Chiều dài sau khi giảm: x + 5 - 3 = x + 2 (m)
Chiều rộng sau khi tăng: x + 2 (m)
Diện tích mới: (x + 2)(x + 2) = x² + 4x + 4 (m²)
Theo đề bài, ta có phương trình:
x² + 5x - (x² + 4x + 4) = 16
x² + 5x - x² - 4x - 4 = 16
x = 16 + 4
x = 20 (nhận)
Vậy chiều rộng khu vườn lúc đầu là 20 m, chiều dài khu vườn lúc đầu là 20 + 5 = 25 m
Bài 3
45 phút = 3/4 h
Gọi x (km) là chiều dài quãng đường AB (x > 0)
Thời gian đi từ A đến B: x/40 (h)
Thời gian đi từ B về A: x/30 (h)
Theo đề bài, ta có phương trình:
x/30 - x/40 = 3/4
4x - 3x = 3.30
x = 90 (nhận)
Vậy quãng đường AB dài 90 km
Bài 4
1 h 40 phút = 5/3 h
20 phút = 1/3 h
Gọi x (km) là độ dài quãng đường từ nhà đến tỉnh (x > 0)
Thời gian dự định là: x/12 (h)
Thời gian đi 1/3 quãng đường đầu: x/(3.12) = x/36 (h)
Thời gian đi 2/3 quãng đường còn lại: 2x/(3.36) = x/54 (h)
Theo đề bài, ta có phương trình:
x/12 - x/36 - x/54 - 1/3 = 5/3
x/12 - x/36 - x/54 = 5/3 + 1/3
x/12 - x/36 - x/54 = 2
9x - 3x - 2x = 2.108
4x = 216
x = 216 : 4
x = 54 (nhận)
Vậy quãng đường từ nhà đến tỉnh dài 54 km
Bài 5
Gọi x (ha) là diện tích thửa ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch (x > 0)
Thời gian dự định là: x/40 (ngày)
Diện tích cày thực tế: x + 4 (ha)
Thời gian cày thực tế: (x + 4)/52 (h)
Theo đề bài, ta có phương trình:
x/40 - (x + 4)/52 = 2
13x - 10(x + 4) = 2.520
13x - 10x - 40 = 1040
3x = 1040 + 40
3x = 1080
x = 1080 : 3
x = 360 (nhận)
Vậy diện tích thửa ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch là 360 ha
Bài 4:
a: Xét ΔBHA vuông tại H và ΔBAC vuông tại A có
\(\widehat{HBA}\) chung
Do đó: ΔBHA~ΔBAC
=>\(\dfrac{BH}{BA}=\dfrac{BA}{BC}\)
=>\(BH\cdot BC=BA^2\)
b: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔHAC vuông tại H có
\(\widehat{HBA}=\widehat{HAC}\left(=90^0-\widehat{HAB}\right)\)
Do đó: ΔHBA~ΔHAC
=>\(\dfrac{HB}{HA}=\dfrac{HA}{HC}\)
=>\(HA^2=HB\cdot HC\)
c: Xét ΔBAC có MH//AC
nên \(\dfrac{MH}{AC}=\dfrac{BM}{BA}\left(1\right)\)
Xét ΔBAD có MN//AD
nên \(\dfrac{MN}{AD}=\dfrac{BM}{BA}\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(\dfrac{MH}{AC}=\dfrac{MN}{AD}\)
=>\(\dfrac{MH}{MN}=\dfrac{AC}{AD}\)
d: Xét tứ giác BEAH có \(\widehat{BEA}+\widehat{BHA}=90^0+90^0=180^0\)
nên BEAH là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{BEH}=\widehat{BAH}\)
Bài 3:
a: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔABC vuông tại A có
\(\widehat{HBA}\) chung
Do đó: ΔHBA~ΔABC
b: ΔABC vuông tại A
=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)
=>\(BC=\sqrt{12^2+16^2}=20\left(cm\right)\)
ΔHBA~ΔABC
=>\(\dfrac{HB}{AB}=\dfrac{HA}{AC}=\dfrac{BA}{BC}\)
=>\(\dfrac{HB}{12}=\dfrac{HA}{16}=\dfrac{12}{20}=\dfrac{3}{5}\)
=>\(HB=3\cdot\dfrac{12}{5}=7,2\left(cm\right);HA=16\cdot\dfrac{3}{5}=9,6\left(cm\right)\)
HB+HC=BC
=>HC+7,2=20
=>HC=12,8(cm)
HD=HA=9,6(cm)
ΔAHD vuông tại H
=>\(HA^2+HD^2=AD^2\)
=>\(AD=\sqrt{9,6^2+9,6^2}=\dfrac{48\sqrt{2}}{5}\left(cm\right)\)
c: Xét ΔCDE vuông tại D và ΔCAB vuông tại A có
\(\widehat{DCE}\) chung
Do đó: ΔCDE~ΔCAB
=>\(\dfrac{CD}{CA}=\dfrac{CE}{CB}\)
=>\(\dfrac{CD}{CE}=\dfrac{CA}{CB}\)
Xét ΔCDA và ΔCEB có
\(\dfrac{CD}{CE}=\dfrac{CA}{CB}\)
\(\widehat{DCA}\) chung
Do đó: ΔCDA~ΔCEB
