a: Xét (O) có
ΔABC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔABC vuông tại A
=>AB⊥ AC tại A
=>BA⊥DC tại A
Xét ΔDBC vuông tại B có BA là đường cao
nên \(DA\cdot DC=DB^2\)
b: Xét tứ giác OBDE có \(\hat{OBD}+\hat{OED}=90^0+90^0=180^0\)
nên OBDE là tứ giác nội tiếp
=>D,B,O,E cùng thuộc một đường tròn
Xét (O) có
DB,DE là các tiếp tuyến
Do đó: OD là phân giác của góc BOE
=>OD⊥BE tại I
Xét ΔDBO vuông tại B có BI là đường cao
nên \(DI\cdot DO=DB^2\)
=>\(DI\cdot DO=DA\cdot DC\)
c: Gọi K là giao điểm của CE và BD
Xét (O) có
ΔCEB nội tiếp
CB là đường kính
Do đó: ΔCEB vuông tại E
=>BE⊥CK tại E
=>ΔBEK vuông tại E
Ta có: \(\hat{DBE}+\hat{DKE}=90^0\) (ΔBEK vuông tại E)
\(\hat{DEB}+\hat{DEK}=\hat{BEK}=90^0\)
mà \(\hat{DBE}=\hat{DEB}\) (ΔDBE cân tại D)
nên \(\hat{DKE}=\hat{DEK}\)
=>DE=DK
ma DE=DB
nên DK=DB(1)
Ta có: EM⊥BC
BK⊥BC
Do đó: EM//BK
Xét ΔCBD có GM//BD
nên \(\frac{GM}{BD}=\frac{CG}{CD}\) (2)
Xét ΔCDK có EG//DK
nên \(\frac{EG}{DK}=\frac{CG}{CD}\) (3)
Từ (1),(2),(3) suy ra GE=GM
=>G là trung điểm của EM
Xét ΔEBM có
G,I lần lượt là trung điểm của EM,EB
=>GI là đường trung binh của ΔEBM
=>GI//BM
=>GI//BC
