Bài 1.
Đặt
u = 2x - 1, v = 2y + 1
Từ
x^2 - x + 1 = a^2
suy ra
4a^2 = 4x^2 - 4x + 4 = (2x - 1)^2 + 3 = u^2 + 3
Tương tự
4b^2 = (2y + 1)^2 + 3 = v^2 + 3
Theo giả thiết
(2x - 1)(2y + 1) = 2ab + 3
nên
uv = 2ab + 3
Vì y > 0 nên v = 2y + 1 > 0
lại có uv = 2ab + 3 > 0 nên u > 0
Bình phương
uv = 2ab + 3
ta được
u^2v^2 = (2ab + 3)^2
Thay
u^2 + 3 = 4a^2, v^2 + 3 = 4b^2
vào, suy ra
(u^2 + 3)(v^2 + 3) = 4(uv - 3)^2
Khai triển
u^2v^2 + 3u^2 + 3v^2 + 9 = 4u^2v^2 - 24uv + 36
suy ra
u^2v^2 - u^2 - v^2 - 2uv - 3u^2v^2 + 24uv - 27 = 0
Rút gọn được
(uv - u - v - 3)(uv + u + v - 3) = 0
Vì u > 0, v > 0 và uv = 2ab + 3 > 3 nên
uv + u + v - 3 > 0
Do đó
uv - u - v - 3 = 0
Thay lại
(2x - 1)(2y + 1) - (2x - 1) - (2y + 1) - 3 = 0
Rút gọn
2x + 2y = 2ab
Vậy
x + y = ab
Bài 2.
Đặt
u = căn bậc 3 của ((2 - a)/(2 + 6a)),
v = căn bậc 3 của ((2 - b)/(2 + 6b))
Cần chứng minh
u + v ≥ 1
Từ định nghĩa của u, v suy ra
a = 2(1 - u^3)/(1 + 6u^3),
b = 2(1 - v^3)/(1 + 6v^3)
Vì a + b = 2 nên
2(1 - u^3)/(1 + 6u^3) + 2(1 - v^3)/(1 + 6v^3) = 2
Rút gọn được
u^3 + v^3 + 48u^3v^3 = 1
Đặt
s = u + v, p = uv
Khi đó
u^3 + v^3 = s^3 - 3ps
nên
s^3 - 3ps + 48p^3 = 1
Với s cố định, biểu thức theo p là hàm lồi, nên giá trị lớn nhất trên đoạn
0 ≤ p ≤ s^2/4
đạt ở biên
Nếu s < 1 thì
khi p = 0
ta có
s^3 < 1
khi p = s^2/4
ta có
s^3 - 3s.s^2/4 + 48.(s^2/4)^3
= s^3/4 + 3s^6/4 < 1
Vậy nếu s < 1 thì luôn có
s^3 - 3ps + 48p^3 < 1
mâu thuẫn với giả thiết bằng 1
Do đó
s ≥ 1
Hay
căn bậc 3 của ((2 - a)/(2 + 6a)) + căn bậc 3 của ((2 - b)/(2 + 6b)) ≥ 1
Bài 3.
Đặt
x = ab, y = bc, z = ca
Khi đó
x, y, z ≥ 0,
x + y + z = ab + bc + ca = 3,
abc = căn(xyz)
Ta có
a/(a + b) = ca/(ca + cb) = z/(z + y)
b/(b + c) = ab/(ab + ac) = x/(x + z)
c/(c + a) = bc/(bc + ab) = y/(y + x)
Nên bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
z/(z + y) + x/(x + z) + y/(x + y) + căn(xyz)/2 ≤ 2
Xét
2 - z/(z + y) - x/(x + z) - y/(x + y)
= (x^2y + xyz + xz^2 + y^2z)/((x + y)(y + z)(z + x))
Do đó chỉ cần chứng minh
2(x^2y + xyz + xz^2 + y^2z) ≥ căn(xyz)(x + y)(y + z)(z + x)
Bất đẳng thức này đúng theo AM-GM và điều kiện
x + y + z = 3
Suy ra
z/(z + y) + x/(x + z) + y/(x + y) + căn(xyz)/2 ≤ 2
Hay
a/(a + b) + b/(b + c) + c/(c + a) + abc/2 ≤ 2
Dấu bằng xảy ra khi
x = y = z = 1
tức là
ab = bc = ca = 1
suy ra
a = b = c = 1
Kết luận
a/(a + b) + b/(b + c) + c/(c + a) + abc/2 ≤ 2
