Question

CMR với mọi số thực dương a, b, c bất đẳng thức sau luôn đúng:

\(\frac{\left(b+c-a\right)^2}{\left(b+c\right)^2+a^2}+\frac{\left(c+a-b\right)^2}{\left(c+a\right)^2+b^2}+\frac{\left(a+b-c\right)^2}{\left(a+b\right)^2+c^2}\ge\frac{3}{5}\)

Answer 1

Chuẩn hóa \(a+b+c=3\) rồi dùng hệ số bất định nha bạn.Mình nhác quá chỉ gợi ý thôi.Nếu cần thì trưa mai đi học về mình làm cho.

Answer 2

Thấy có lời giải này hay hay nên mình copy lại nha (Trong sách Yếu tố ít nhất - Võ Quốc Bá Cẩn)

Answer 3

Một tài liệu khác cũng có kết quả với hướng làm giống thầy Cần:

Answer 4

zZz Cool Kid_new zZz ey cách đó tui đăng r:v Chỉ khác là hướng làm you đăng đưa về biến a, còn t đưa về biến c:) Còn một cách của thầy cẩn bằng Cauchy-Schwarz rất hay mà lười đăng quá

Answer 5

Đều là cách thầy Cẩn kkk

Answer 6

Lời giải 2 (trích sách thầy cẩn)

Answer 7

Đó không phải sách thầy Cẩn đâu.Mà là sách của thầy Nguyễn Công Lợi.

T chỉ đủ trình đọc sách đó thôi,còn sách "Yếu tố ít nhất" t chưa đủ trình để đọc;you thì GOD r.Mà t đăng để bảo vệ ý kiến của mình chứ không phải có ý gì xấu xa đâu.

Answer 8

zZz Cool Kid_new zZz thì t có nói gì you đâu@@ t chỉ đủ trình đọc sách ngắn ngủn của thầy Cẩn chứ đâu đủ trình đọc sách của thầy Lợi như you, you thì max god r

Answer 9

Cách khác:

Quy đồng và sử dụng phân tích của Ji Chen:

Answer 10

\(\frac{\left(b+c-a\right)^2}{\left(b+c\right)^2+a^2}+\frac{\left(c+a-b\right)^2}{\left(c+a\right)^2+b^2}+\frac{\left(a+b-c\right)^2}{\left(a+b\right)^2+c^2}\ge\frac{3}{5}\left(1\right)\)

Đặt m=a+b+c, a₁=\(\frac{a}{m}\); \(b_1=\frac{b}{m};c_1=\frac{c}{m}\)

=> \(a_1+b_1+c_1=1\)

(1) \(\Leftrightarrow\frac{\left(b_1+c_1-a_1\right)^2}{\left(b_1+c_1\right)+a_1^2}+\frac{\left(c_1+a_1-b_1\right)^2}{\left(c_1+a_1\right)+b_1^2}+\frac{\left(a_1+b_1-c_1\right)^2}{\left(a_1+b_1\right)^2+c_1^2}\ge\frac{3}{5}\)

\(\Leftrightarrow T=\frac{\left(1-2a_1\right)^2}{\left(1-a_1\right)^2+a_1^2}+\frac{\left(1-2b_1\right)^2}{\left(1-b_1\right)^2+b_1^2}+\frac{\left(1-2c_1\right)^2}{\left(1-c_1\right)^2+c_1^2}\ge\frac{3}{5}\)

ta sẽ chứng minh \(f\left(x\right)=\frac{\left(1-2x\right)^2}{\left(1-x\right)^2+x^2}\ge\frac{23-54x}{25}\forall x\in\left(0;1\right)\)

\(\Leftrightarrow25\left(1-2x\right)^2\ge\left(23-54x\right)\left[x^2+1\left(1-x\right)^2\right]\)

<=> \(2\left(3x-1\right)^2\left(6x+1\right)\ge0\)

=> \(T=f\left(a_1\right)+f\left(b_1\right)+f\left(c_1\right)\ge\frac{23\cdot3-54\left(a_1+b_1+c_1\right)}{25}=\frac{3}{5}\)

@một cách giải khác của cô Nhiên