Question

Cm rằng vs mọi số nguyên dương n>= 4 ta có: 3^n-1 > n(n+2)

Answer 1

Ta chứng minh bằng quy nạp:

- Với  \(n=4\) BĐT trở thành \(3^3>4.6\) (đúng)

- Giả sử BĐT đúng với \(n=k\ge4\) hay \(3^{k-1}>k\left(k+2\right)\)

Ta cần chứng minh BĐT cũng đúng với \(n=k+1\)

Hay \(3^k>\left(k+1\right)\left(k+3\right)\)

Thật vậy, ta có:

\(3^k=3.3^{k-1}>3.k\left(k+2\right)=\left(k+1\right)\left(k+3\right)+2k^2+2k-3\)

Do \(k\ge4\Rightarrow k-3>0\Rightarrow2k^2+2k-3>0\)

\(\Rightarrow\left(k+1\right)\left(k+3\right)+2k^2+2k-3>\left(k+1\right)\left(k+3\right)\)

\(\Rightarrow3^k>\left(k+1\right)\left(k+3\right)\) (đpcm)