a)Ta có :
\(n^3-13n\) = \(n^3-12n-n\)\(=n\left(n^2-1\right)-12n\)\(=n.\left(n-1\right)\left(n+1\right)-6.2n\)
* n ; n-1 và n+1 là 3 số nguyên liên tiếp nên n.(n-1)(n+1) chia hết cho 6 vs 6.2n cũng chia hết cho 6
\(\Rightarrow\) n\(^3\)-13n chia hết cho 6
b)Ta có :A=n\(^5\)−5n\(^3\)+4\(n\)=n(n\(^4\)−5n\(^2\)+4)=n[n\(^2\)(n\(^2\)−1)−4(n\(^2\)−1)]=n(n\(^2\)−1)(n\(^2\)−4)=(n−2)(n−1)n(n+1)(n+2)
Vì (n−2)(n−1)n(n+1)(n+2)(n−2)(n−1)n(n+1)(n+2) là tích 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5 (1)
(n−2)(n−1)n(n+1)(n+2)(n−2)(n−1)n(n+1)(n+2) chứa tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3 (2)
(n−2)(n−1)n(n+1)(n+2)(n−2)(n−1)n(n+1)(n+2) chứa tích của 2 số chẵn liên tiếp nên chia hết cho 8 (3)
Mà (3;5;8) =1 (4)
Từ (1) , (2) , (3) , (4) => A⋮(3.5.8)
=> A⋮120
c) Ta có: n^3+3.n^2-n-3=n^2.(n+3) -(n+3)=(n+3).(n-1).(n+1).
-Do n là số lẻ nên đặt n=2k+1.(k thuộc N).
=> n^3+3.n^2-n-3= (2k+4).2k.(2k+2)= 8.k.(k+1).(k+2).
-Do k(k+1) là tích 2 số tự nhiên liên tiếp nên k(k+1) chia hết cho 2 và k(k+1)(k+2) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên k(k+1)(k+2) chia hết cho 3.
=> 8k(k+1)(k+2) chia hết cho 16 và chia hết cho 3. Mà (16,3)=1.
=> 8k(k+1)(k+2) chia hết cho 16.3.
=> n^3+3.n^2-n-3 chia hết cho 48 với mọi n là số tự nhiên lẻ (đpcm).
