Question

CM bất đẳng thức sau  với a,b,c 

\(\ge0\)

\(a\left(a-b\right)\left(a-c\right)+b\left(b-c\right)\left(b-a\right)+c\left(c-a\right)\left(c-b\right)\ge0\)

Answer 1

No Name:Đây chính là bất đẳng thức Schur bậc 3

Do a,b,c bình đẳng ta giả sử \(a\ge b\ge c\)

Đặt \(a-b=x;b-c=y\)

Khi đó BĐT tương đương với:

\(c\left(x^2+xy+y^2\right)+x^2\left(x+2y\right)\ge0\left(true\right)\)

Vậy BĐT được chứng minh

Answer 2

WLOG \(c=min\left\{a;b;c\right\}\)

\(VT=\left(a+b+c\right)\left(a-b\right)^2+c\left(c-a\right)\left(c-b\right)\ge0=VP\)

Answer 3

Kiểu khác

WLOG \(c=min\left\{a;b;c\right\}\)

\(\frac{\left(4a^2+4b^2-5c^2+8ab-bc-ca\right)\left(a-b\right)^2+c\left(a+b-c\right)\left(a+b-2c\right)^2}{4ca+4bc-5c^2+c}\ge0\)

Answer 4

Đây là một kiểu SOS. Có:

\(\Sigma a\left(a-b\right)\left(a-c\right)=\frac{3abc\Sigma\left(a-b\right)^2+\left(a+b+c\right)\Sigma\left(a+b-c\right)^2\left(a-b\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\right)}\ge0\)

Xong.

Answer 5

Cách khác, xem tại đây và đây nữa. Nếu olm không hiện link thi nhập link bên dưới vào hoặc vào TKHĐ:

https://diendantoanhoc.net/topic/185082-chứng-minh-bđt/?p=729600

https://diendantoanhoc.net/topic/185775-bdt/