Question

Cm bất đẳng thức sau : \(a^2+b^2+4\ge ab+2\left(a+b\right)\)

Answer 1

Ta có : \(a^2+b^2+4\ge ab+2\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+4\ge ab+2a+2b\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+4\right)\ge2\left(ab+2a+2b\right)\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+8\ge2ab+4a+4b\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+8-2ab-4a-4b\ge0\) 

\(\Leftrightarrow a^2+a^2+b^2+b^2+4+4-2ab-4a-4b\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-4a+4\right)+\left(b^2-4b+4\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-2\right)^2+\left(b-2\right)^2\ge0\)

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên ta có đpcm

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=2