\(\frac{1}{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\frac{1}{2}.\frac{k+2-k}{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{k\left(k+1\right)}-\frac{1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left[\frac{k+1-k}{k\left(k+1\right)}-\frac{\left(k+2\right)-\left(k+1\right)}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}\right]\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k}+\frac{1}{k+2}\right)-\frac{1}{k+1}\)
c/m: 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + . . . + k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3)
\(x=\frac{2+k}{2k-1}\)
Thay vô pt2
\(k\cdot\frac{2+k}{2k-1}+y=k\)
\(\frac{2k+k^2}{2k-1}-k=-y\)
\(\frac{2k+k^2-2k^2+k}{2k-1}=-y\)
\(\frac{-k^2+3k}{2k-1}=-y\)
\(\frac{k^2-3k}{2k-1}=y\)
\(\Rightarrow x+y=\frac{2+k+k^2-3k}{2k-1}=\frac{k^2-2k+2}{2k-1}\)
Ta có: k2-2k+2=(k-1)2+1>0 mà x+y <0 nên 2k-1<0 =>k<1/2
Tính các tổng :
a) \(A=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n\left(n+1\right)}\) ( Hướng dẫn : \(\frac{1}{k\left(k+1\right)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\))
b) \(B=\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+\frac{1}{3.4.5}+...+\frac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\)
( Hướng dẫn : \(\frac{1}{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k}+\frac{1}{k+2}\right)-\frac{1}{k+1}\))
Tính tổng của B :B=\(\frac{1}{1\cdot2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot3\cdot4}+\frac{1}{3\cdot4\cdot5}+...+\frac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\)
HD:\(\frac{1}{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k}+\frac{1}{k+2}\right)-\frac{1}{k+1}\)
a^2=?
Biet 1+2+3+4+...+k=a
va (k+1).(k-2)(k+3).(k-4)=1020
tìm k để phương trình sau có nghiệm âm (1-x)/(k-1) - (x+1)/(1+k) = 2x/(1-k^2)
CMR:
\(1^k+2^k+...+n^k=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\)
Cho biểu thức 2
1 2
1 1
K
a a
a) Tìm điều kiện của a để biểu thức K xác định. b) Rút gọn biểu thức K
c) Tính giá trị biểu thức K khi 1
2
cho S= 1*2*3 +2*3*4 +3*4*5+....+k*(k+1)*(k+2) . chung minh 4S=1 la so chinh phuong
