Question

Chúng minh với mọi số thực x,y,z,t ta luôn có bất đẳng thức: \(x^2+y^2+z^2+t^2>=x\left(y+z+t\right)\)   

giúp mình giải bài này với

Answer 1

Ta có: \(x^2+y^2+z^2+t^2-xy-xz-xt\ge0\)(1)

<=> \(2x^2+2y^2+2z^2+2t^2-2xy-2xz-2xt\ge0\)

<=> \(\left(x^2+y^2+z^2-2xy-2xz+2yz\right)+\left(y^2+z^2-2yz\right)+\left(x^2-2xt+t^2\right)+t^2\ge0\)

<=> \(\left(x-y-z\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-t\right)^2+t^2\ge0\)đúng 

=> (1) đúng 

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 0

Answer 2

Ta có: \(x^2+y^2+z^2+t^2\ge x\left(y+z+t\right)\)

<=> \(x^2+y^2+z^2+t^2-x\left(y+z+t\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+t^2-xy-xz-xt\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x^2}{4}-xy+y^2\right)+\left(\frac{x^2}{4}-xz+z^2\right)+\left(\frac{x^2}{4}-xt+t^2\right)+\frac{x^2}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{2}-y\right)^2+\left(\frac{x}{2}-z\right)^2+\left(\frac{x}{2}-t\right)^2\ge0\)(BĐT đúng)

Vậy có: \(x^2+y^2+z^2+t^2\ge x\left(y+z+t\right)\)

Đẳng thức xảy ra <=> \(\left(\frac{x}{2}-y\right)^2=\left(\frac{x}{2}-z\right)^2=\left(\frac{x}{2}-t\right)^2=\frac{x^2}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{2}-y=\frac{x}{2}-z=\frac{x}{2}-t=x=0\)

<=> x=y=z=t=0