Question

Chứng minh với mọi số thực sao cho

\(a+b\ge2\) thì \(a^3+b^3\le a^4+b^4\)

 

Answer 1

Ta có : \(a^4+b^4\ge a^3+b^3\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4-a^3-b^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^4-a^3\right)-\left(a-1\right)+\left(b^4-b^3\right)-\left(b-1\right)+a+b-2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3\left(a-1\right)-\left(a-1\right)+b^3\left(b-1\right)-\left(b-1\right)+a+b-2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left(a^2+a+1\right)+\left(b-1\right)^2\left(b^2+b+1\right)+a+b-2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left[\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right]+\left(b-1\right)^2\left[\left(b+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right]+a+b-2\ge0\)

(luôn đúng)

Vậy bất đẳng thức ban đầu được chứng minh