Question

chứng minh rằng \(n^7-n\)chia hết cho 7, với mọi n là số nguyên

 

Answer 1

\(n^7-n=n\left(n^6-1\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+n+1\right)\left(n^2-n+1\right)\)

Nếu n = 7k ( k thuộc Z ) thì n chia hết cho 7 

Nếu n = 7k + 1 ( k thuộc Z ) thì \(n^2-1=49k^2+14k⋮7\) 

Nếu n = 7k + 2 ( k thuộc Z ) thì \(n^2+n+1=49k^2+35k+7⋮7\)

Nếu n = 7k + 3 ( k thuộc Z ) thì \(n^2-n+1=49k^2+35k+7⋮7̸\)

Trong trường hợp nào cũng có một thừa số chia hết cho 7 

Nên \(n^7-n⋮7\)với mọi số nguyên