Question

Chứng minh rằng A= \(10^{\left\{n\right\}}\)+18n -1 chia hết cho 27( n là số tự nhiên)

Answer 1

\(10^n\)+18n -1=10..00(có n chữ số 0) -1+18n

                    =99...9(có n chữ số 9)-9n+27n

                    =9x(11...1(có n chữ số 1)-n)+27n

Ta thấy số 111...1 có n chữ số 1. Vậy tổng các chữ số của nó là n

Vậy 111...1(có n chữ số 1) và n chia 3 có cùng số dư

Vậy 111..1(có n chữ số 1)-n chia hết cho 3

Suy ra: 9x(11...1(có n chữ số 1)-n) chia hết cho 27, 27n chia hết cho 27

Suy ra A chia hết cho 27(đpcm)

                 

Answer 2

A = 10ⁿ + 18n - 1
B1: Xét n = 1
=> A = 10 + 18 -1 = 27 ⋮ 27
Vậy với n = 1, mệnh đề đúng.
B2: Giả sử với n = k, mệnh đề đúng, tức là: 10^k + 18k - 1 ⋮ 27
B3: Ta phải chứng minh với n = k + 1, mệnh đề cũng đúng. Tức là: 10^k+1 + 18(k+1) - 1 ⋮ 27.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp:
10^k+1 + 18k + 18 - 1 = 10^k.10 + 18k.10 - 10 + 27 - 9.18k = 10.(10^k + 18k - 1) + (27 - 6.27k)
Có: 10.(10^k + 18k - 1) ⋮ 27
(27 - 6.27k) ⋮ 27
=> 10^k+1 + 18(k+1) - 1 ⋮ 27.
=> Điều phải chứng minh