Dễ thấy dấu"=" xảy ra khi x=1
Giả sử bđt đúng với n=k>1 tức là
\(3^k\ge2k+1\) (1)
Nhân cả 2 vế của (1) với 3 ta được
\(3^{k+1}\ge6k+3\Leftrightarrow3^{k+1}\ge3k+4+3k-1\)
Vì 3k-1>0
=>\(3^{k+1}\ge3\left(k+1\right)+1\)
Vậy bđt đúng với n=k+1
=> bđt được chứng minh
Dễ thấy bất đẳng thức đúng với n = 2
Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 2, tức là
3k\(\ge\)3k + 1
Nhân hai vế của (1) vơi 3, ta được:
3k + 1 \(\ge\) 9k + 3 <=> 3k + 1 > 3k + 4 + 6k -1.
Vì 6k - 1\(\ge\)0 nên
3k + 1\(\ge\)3k + 4 hay 3k + 1 \(\ge\) 3(k + 1) + 1.
tức là bất đẳng thức đúng với n = k + 1.
Vậy 3n \(\ge\) 3n + 1 với mọi số tự nhiên n
