Bất đẳng thức Cau chy cho số a,b,c không âm là:
\(\frac{a+b+c}{3}\ge\sqrt[3]{abc}\)
Đặt \(a=x^3;b=y^3;c=z^3\)
\(\frac{a+b+c}{3}\ge\sqrt[3]{abc}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^3+y^3+z^3}{3}\ge xyz\)\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3\ge3xyz\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right)\ge0\)
Do a,b,c \(\ge\)0 nên x,y,z\(\ge\)0 do đó:\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right)\ge0\)(đúng)
Vậy \(\frac{a+b+c}{3}\ge\sqrt[3]{abc}\) . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
