Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Pham Trong Bach

Cho a, b là các số dương thỏa mãn điều kiện  ( a + b ) 3 + 4 a b ≤ 12.   Chứng minh bất đẳng thức  1 1 + a + 1 1 + b + 2015 a b ≤ 2016.

Cao Minh Tâm
24 tháng 8 2019 lúc 7:50

Ta có 12 ≥ ( a + b ) 3 + 4 a b ≥ 2 a b 3 + 4 a b . Đặt t = a b , t > 0  thì

12 ≥ 8 t 3 + 4 t 2 ⇔ 2 t 3 + t 2 − 3 ≤ 0 ⇔ ( t − 1 ) ( 2 t 2 + 3 t + 3 ) ≤ 0  

Do 2 t 2 + 3 t + 3 > 0 , ∀ t nên t − 1 ≤ 0 ⇔ t ≤ 1 . Vậy 0 < a b ≤ 1  

Chứng minh được 1 1 + a + 1 1 + b ≤ 2 1 + a b , ∀ a , b > 0  thỏa mãn a b ≤ 1  

Thật vậy, BĐT 1 1 + a − 1 1 + a b + 1 1 + b − 1 1 + a b ≤ 0  

a b − a ( 1 + a ) ( 1 + a b ) + a b − b ( 1 + b ) ( 1 + a b ) ≤ 0 ⇔ b − a 1 + a b a 1 + a − b 1 + b ⇔ ( b − a ) 2 ( a b − 1 ) ( 1 + a b ) ( 1 + a ) ( 1 + b ) ≤ 0  

 

Do 0 < a b ≤ 1  nên BĐT này đúng

Tiếp theo ta sẽ CM 2 1 + a b + 2015 a b ≤ 2016 , ∀ a , b > 0  thỏa mãn  a b ≤ 1

Đặt t = a b , 0 < t ≤ t  ta được 2 1 + t + 2015 t 2 ≤ 2016  

2015 t 3 + 2015 t 2 − 2016 t − 2014 ≤ 0 ⇔ ( t − 1 ) ( 2015 t 2 + 4030 t + 2014 ) ≤ 0  

BĐT này đúng  ∀ t : 0 < t ≤ 1  

Vậy  1 1 + a + 1 1 + b + 2015 a b ≤ 2016.  Đẳng thức xảy ra a = b = 1


Các câu hỏi tương tự
socola Lê
Xem chi tiết
BÙI VĂN LỰC
Xem chi tiết
library
Xem chi tiết
áhddjakshd
Xem chi tiết
áhddjakshd
Xem chi tiết
Thanh Tâm
Xem chi tiết
fasdfasd
Xem chi tiết
Momozono Nanami
Xem chi tiết
CBSCB
Xem chi tiết