Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có : \(A^2=\left(1.\sqrt{x+y}+1.\sqrt{y+z}+1.\sqrt{x+z}\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x+y+y+z+z+x\right)\)
\(\Rightarrow A^2\le3.2\left(x+y+z\right)=6\Rightarrow A\le\sqrt{6}\)(Vì A>0)
cho x+y+z=1(x,y,z>0). chứng minh A=\(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\le\sqrt{6}\)
Cm các đẳng thức sau:
a, \(x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)với x,y,z \(\ge0\)
b, \(\sqrt{x+3}+\sqrt{5-x}\le4\)
c, Cho x,y,z >0 thỏa mãn x+y+z=1. CMR: \(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\le\sqrt{6}\)
Cho \(x,y,z>0\)thỏa mãn\(x\ge y,z\). Đặt \(A=\sqrt{x+2}-\sqrt{x}\), \(B=\sqrt{y+2}-\sqrt{y+1}\) và
\(C=\sqrt{z+1}-\sqrt{z}\). Chứng minh rằng \(A\le B+C\)
Cho ba số không âm x,y,z thỏa mãn điều kiện x+y+z=1. Chưngs minh rằng
\(A=\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\le\sqrt{6}\)
Cho x;y;z >0 thỏa mãn x+y+z=1. CMR:
\(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\le\frac{\left(x\sqrt{x}+y\sqrt{y}+z\sqrt{z}\right)\sqrt{xyz}+6\left(x^4+y^4+z^4\right)}{2xyz}\)
Cho x, y, z >0 thỏa x + y + z >= 3. Chứng minh rằng : \(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{3}{2}\)
Cho x,y,z > 0 và \(x+y+z\le\dfrac{3}{2}\). CMR :
\(\sqrt{x^2+\dfrac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\dfrac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\dfrac{1}{z^2}}\ge\dfrac{3}{2}\sqrt{17}\)
Với mọi x, y, z >= 0 . Chứng minh rằng
\(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\)
Với mọi x, y, z >= 0 . Chứng minh rằng
\(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\)
