\(A=\frac{1}{2}\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2=\frac{1}{2}\)
Min A= 1/2 khi x = y =1/2
Vì x+y=1
=>y=1-x
Ta có: \(A=x^2+y^2=x^2+\left(1-x\right)^2=x^2+1\left(1-x\right)-x\left(1-x\right)=x^2+1-x-x+x^2\)
\(A=2x^2-2x+1=2.\left(x^2-x+\frac{1}{2}\right)\)
\(A=2.\left(x^2-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\right)=2\left[x\left(x-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{4}\right]\)
\(A=2\left[\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\right]=2\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\)
Vì \(2\left(x-\frac{1}{2}\right)^2>=0\) với mọi x
=>\(2\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}>=\frac{1}{2}\) với mọi x
Dấu "=" xảy ra <=>\(x=\frac{1}{2}\);mà x+y=1=>\(y=\frac{1}{2}\)
Khi đó GTNN của A=x2+y2 là 1/2 tại \(x=y=\frac{1}{2}\)
TH1: Xét x < 0 và y > 0 ta có :
x2 > 0 và y2 > 0
Vậy : Nếu x < 0 va y > 0 thì A không đạt GTNN
TH2: Tương tự với x > 0 và y < 0 thì A sẽ không đạt GTNN
TH3: Xét x = 0 ; y = 1 hoặc y = 0 ; x = 1 ta sẽ có:
02 + 12 = 1
Vậy A đạt GTNN khi x ϵ { 0 ; 1 } và y ϵ { 0 ; 1 }
Giải:
\(x+y=1\\ \Rightarrow\left(x+y\right)^2=1\\ \Rightarrow x^2+2xy+y^2=1\)
\(\left(x-y\right)^2\ge0\\ \Rightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\\\Rightarrow \left(x^2+2xy+y^2\right)+\left(x^2-2xy+y^2\right)\ge0+1\\ \Rightarrow\left(x^2+x^2\right)+\left(2xy-2xy\right)+\left(y^2+y^2\right)\)
\(2x^2+2y^2\ge1\\ \Rightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge1\\ \Rightarrow x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\\ \Rightarrow A\ge\frac{1}{2}\)
vậy \(A_{min}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
Chúc bạn học tốt!
