Nguyễn Linh Ch Thanks cô ạ,e thiếu + 2:(( ko hiểu sao dạo này e hay nhầm ạ:(
\(\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)\)
\(=x^2y^2+2+\frac{1}{x^2y^2}\)
Đặt \(a=\frac{1}{x^2y^2}=\frac{1}{\left(xy\right)^2}\ge\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^4}{16}}=16\)
Ta có:
\(P=a+\frac{1}{a}+2=\left(\frac{1}{a}+\frac{a}{256}\right)+\frac{255a}{256}+2\)
Theo BĐT Cô-si ta có:
\(P\ge2\sqrt{\frac{1}{a}\cdot\frac{a}{256}}+\frac{255\cdot16}{256}+2=\frac{289}{16}\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=6\Rightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
\(P=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)\)
\(=x^2y^2+2+\frac{1}{x^2y^2}\)
Đặt \(\frac{1}{x^2y^2}=a\)
Ta có:\(a=\frac{1}{x^2y^2}=\frac{1}{\left(xy\right)^2}\ge\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^4}{16}}\ge16\)
Khi đó:
\(P=a+\frac{1}{a}+2=\left(\frac{1}{a}+\frac{a}{256}\right)+\frac{255a}{256}\)
Theo BĐT Cô si ( từ nay bỏ AM-GM,thấy quê quê sao á ) ta có:
\(P\ge2\sqrt{\frac{1}{a}\cdot\frac{a}{256}}+\frac{255\cdot16}{256}=\frac{27}{16}\)
Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=\frac{1}{2}\)
zZz Cool Kid_new zZz - Sao cô thay giá trị x = y = 1/2 vào P không có kết quả là 27/16 ???
Một cách khác!
\(P=\left(x^2+\frac{1}{16y^2}+...+\frac{1}{16y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{16x^2}+...+\frac{1}{16x^2}\right)\)
\(\ge\left[17\sqrt[17]{\frac{x^2}{\left(16y^2\right)^{16}}}\right]\left[17\sqrt[17]{\frac{y^2}{\left(16x^2\right)^{16}}}\right]\)
\(=289\sqrt[17]{\frac{x^2y^2}{\left(16^2x^2y^2\right)^{16}}}=289\sqrt[17]{\frac{1}{16^{32}\left(x^2y^2\right)^{15}}}\)
\(=289\sqrt[17]{\frac{1}{16^{32}\left(xy\right)^{30}}}\ge289\sqrt[17]{\frac{1}{16^{32}\left[\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\right]^{30}}}=\frac{289}{16}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Vậy ...
