Question

Cho x,y là hai số dương biết x+y=1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{3}{4xy}\)

Answer 1

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel:

\(S=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{3}{4xy}=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{4xy}+\frac{1}{4xy}\)

\(=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{4xy}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}+\frac{1}{4xy}\)

\(\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{\left(x+y\right)^2}+\frac{1}{4\cdot\frac{1}{4}}=4+1=5\)

Xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)