Question

cho x>2y và xy=1 . Tìm gtnn : \(P=\frac{x^2+4y^2}{x-2y}\)

Answer 1

Ta có

\(\frac{x^2+4y^2}{x-2y}=\frac{x^2+4y^2-4xy+4xy}{x-2y}=\frac{\left(x-2y\right)^2}{x-2y}+\frac{4}{x-2y}\)

\(=x-2y+\frac{4}{x-2y}\)

Áp dụng bđt Cauchy cho hai số không âm, ta có

\(x-2y+\frac{4}{x-2y}\ge2\sqrt{\left(x-2y\right)\times\frac{4}{x-2y}}=2\sqrt{4}=4\)

Suy ra P_min = 4

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x-2y=\frac{4}{x-2y}\Leftrightarrow\left(x-2y\right)^2=4\Leftrightarrow x-2y=2\)

( do x - 2y \(\ge0\) )