Question

cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn: \(2x+y+\sqrt{5x^2+5y^2}=10\)

chứng minh rằng x⁴y nhỏ hơn hoặc bằng 16

Answer 1

\(2x+y=\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+y\ge5\sqrt[5]{\frac{x^4y}{16}}\)

\(5x^2+5y^2=\frac{5}{4}x^2+\frac{5}{4}x^2+\frac{5}{4}x^2+\frac{5}{4}x^2+5y^2\ge5\sqrt[5]{\frac{5^5}{4^4}x^8y^2}=5^2.\sqrt[5]{\frac{1}{4^4}}.\left(\sqrt[5]{x^4y}\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{5x^2+5y^2}\ge5.\sqrt[5]{\frac{1}{2^4}}.\sqrt[5]{x^4y}\)

\(10=2x+y+\sqrt{5x^2+5y^2}\ge10.\sqrt[5]{\frac{1}{16}}\sqrt[5]{x^4y}\)

\(\Rightarrow\sqrt[5]{x^4y}\le\sqrt[5]{16}\)\(\Rightarrow x^4y\le16\)

Answer 2

có ai giải giúp mình không