Đặt \(x=\sqrt{10}sin^2a\); \(y=\sqrt{10}cos^2a\)
(Lúc đó: \(x+y=\sqrt{10}\left(sin^2a+cos^2a\right)=\sqrt{10}\))
Lúc đó: \(K=\left(1+100sin^8a\right)\left(1+100cos^8a\right)\)
\(=10^4sin^8acos^8a+200sin^4acos^4a-400sin^2acos^2a+101\)
Đặt \(sin^2acos^2a=l\)
\(\Rightarrow K=f\left(l\right)=10^4l^4+200l^2-400l+101\)
\(\Rightarrow K_{min}=f\left(\frac{1}{5}\right)=45\)
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức $A=(x^{4}+1)(y^{4}+1)$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học
@ ctk @ Cách hay! :))). Tham khảo thêm cách này nhé!
\(K=x^4y^4+x^4+y^4+1\)
Ta có: \(x+y=\sqrt{10}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=10\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2=10-2xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)^2=\left(10-2xy\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^4+y^4=100-40xy+2x^2y^2\)
Khi đó: \(K=x^4y^4+2x^2y^2-40xy+101=\left(xy\right)^4-8x^2y^2+10x^2y^2-40xy+101\)
\(=\left(x^2y^2\right)^2-2.x^2y^2.4+16+10\left(x^2y^2-4xy+4\right)+45\)
\(=\left(x^2y^2-4\right)^2+10\left(xy-2\right)^2+45\ge45\)
"=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}xy=4\\x+y=\sqrt{10}\end{cases}}\). Em tự giải tìm x, y nhé!
Thêm dòng nữa
Khảo sát đoạn \(\left[0;\frac{1}{4}\right]\)suy ra \(K_{min}=f\left(\frac{1}{5}\right)=45\)
@ctk@ tại sao lại là [ 0; 1/4 ] mà không phải là một đoạn khác ?
:))). Ý em là:
\(0< l=\sin^2a.\cos^2a=\left(\frac{\sin2a}{2}\right)^2=\frac{\sin^22a}{4}=\frac{\frac{1-\cos4a}{2}}{4}=\frac{1-\cos4a}{8}\le\frac{1+1}{8}=\frac{1}{4}\)
=> \(0< l\le\frac{1}{4}\) là thế này phải không. Tuy nhiên nếu làm như thế này lần sau em phải nói rõ ra nhé! Với chú ý \(l>0\)vì x >0; y > 0 .
Câu hỏi của Lê Tài Bảo Châu - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath ối chao, làm rồi mới biết cô Nguyễn Linh Chi có ý tưởng giống em, bạn Lê Tài Bảo Châu đăng 2 câu hỏi:(
