Question

Cho x, y > 0 thoả mãn x + 2y ≥ 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
H = \(x^2\) + \(2y^2\) + \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{24}{y}\)

Mọi người giúp e với ạ, e cảm ơn!

Answer 1

Ta có: x>0, y>0, x+2y≥5x > 0,\ y > 0,\ x + 2y \ge 5x>0, y>0, x+2y≥5

Biểu thức cần tìm GTNN là:

H=x2+2y2+1x+24yH = x^2 + 2y^2 + \frac{1}{x} + \frac{24}{y}H=x2+2y2+x1​+y24​

Thử chọn x=1⇒x+2y≥5⇒1+2y≥5⇒y≥2x = 1 \Rightarrow x + 2y \ge 5 \Rightarrow 1 + 2y \ge 5 \Rightarrow y \ge 2x=1⇒x+2y≥5⇒1+2y≥5⇒y≥2

Chọn y=2y = 2y=2, thay vào biểu thức H ta được:

H=12+2(22)+11+242=1+8+1+12=22H = 1^2 + 2(2^2) + \frac{1}{1} + \frac{24}{2} = 1 + 8 + 1 + 12 = 22H=12+2(22)+11​+224​=1+8+1+12=22

Thử các giá trị khác (như x=2,y=1.5x = 2, y = 1.5x=2,y=1.5 hay x=1.5,y=1.75x = 1.5, y = 1.75x=1.5,y=1.75) thì H đều lớn hơn 22.

Kết luận:
Giá trị nhỏ nhất của H là 22, đạt được khi x=1,y=2x = 1, y = 2x=1,y=2.