Question

cho tứ giác ABCD. gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC,CD,DA và I,K là trung điểm của các đường chéo AB,BD. chứng minh:                                           a) các tứ giác MNPQ, INKQ là hình bình hành                     b) các đường thẳng MP,NQ,IK đồng quy

Answer 1

a: Xét ΔBAC có BM/BA=BN/BC

nên MN//AC và MN=AC/2

Xét ΔADC có DQ/DA=DP/DC

nên QP//AC và QP=AC/2

=>MN//PQ và MN=PQ

=>MNPQ là hình bình hành

Xét ΔCAB có CI/CA=CN/CB

nên IN//AB và IN=AB/2

Xét ΔDAB có DQ/DA=DK/DB

nên KQ//AB và KQ=AB/2

=>IN//KQ và IN=KQ

=>INKQ là hình bình hành

b: MNPQ là hình bình hành

nên MP cắt NQ tại trung điểm của mỗi đường(1)

Vì INKQ là hình bình hành

nên IK cắt NQ tại trung điểm của mỗi đường(2)

Từ (1), (2) suy ra MP,NQ,IK đồng quy

Answer 2

*HÌNH TỰ VẼ NHE*

a)

Ta có:

M là tđ của AB

N là tđ của BC

=> MN là đường tb của ΔABC

=> MN // AC ( t/c đường tb của tam giác )(1)

=> MN=1/2 AC (t/c đường tb của tam giác )(2)

P là tđ của CD

Q là tđ của DA

=> PQ là đường tb của tam giác ACD

=> PQ // AC ( tc đường tb của tam giác )(3)

=> PQ=1/2 AC ( tc đường tb của tam giác )(4)

Từ 1-2-3-4 => tứ giác MNPQ là hình bình hành

 

Ta có:

+>N;I lần lượt là tđ của BC và AC

=> NI là đường tb trong tam giác ABC

=> NI // AB (tc đường tb của tg)

=> NI=1/2 AB(tc đường tb của tg)

+>Q;K lần lượt là tđ của AD và BD

=> QK là đường tb của tam giác ADB

=> QK // AB ( tc đường tb của tg)

=> QK=1/2 AB(tc đường tb của tg)

Ta lại có:

+NI // AB (cmt)

+NI=1/2 AB (cmt)

+QK // AB (cmt)

+QK=1/2 AB (cmt)

=> NI // QK; NI = QK

xét tứ giác INKQ có:

NI // QK; NI = QK (cmt)

=> tứ giác INKQ là hình bình hành

 

b)

Gọi L là trung điểm NQ

+> vì tứ giác MNPQ là hình bình hành

=> MP cắt NQ tại trung điểm của mỗi đường ( tc hình bình hành )

=> MP cắt NQ tại L

+> vì tứ giác INKQ là hình bình hành

=> NQ cắt KI tại trung điểm của mỗi đường ( tc hình bình hành )

=> KI cắt NQ tại L 

Ta có:

MP cắt NQ tại L (cmt)

KI cắt NQ tại L (cmt)

=> MP, NQ, IK đồng quy