Question

cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB,BC,CD,DA. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ có tổng bình phương của hai đường chéo bằng tổng bình phương của 4 cạnh

làm hộ mình với nhé, mai đi học thêm rùi

làm xong mình tick cho

Answer 1

a) tgiác ABC có MN là đường trung bình => MN // AC và MN = AC/2 
tgiác DAC có PQ là đường trung bình => PQ // AC và PQ = AC/2 
vậy: MN // PQ và MN = PQ => MNPQ là hình bình hành 

mặt khác xét tương tự cho hai tgiác ABD và CBD ta cũng có: 
NP // BD và NP = BD/2 
do giả thiết AC_|_BD => AC_|_NP mà MN // AC => MN_|_NP 

tóm lại MNPQ là hình chữ nhật (hbh có một góc vuông) 

b) MNPQ là hình vuông <=> MN = NP <=> AC/2 = BD/2 <=> AC = BD 
vậy điều kiện là: tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc và bằng nhau 
-------------

Nguồn:__|nobita|__

cách 2

a) Gọi QM giao AC tại F,AC giao BD tại K 
ta có QM là đường trung bình của tam giác ADB 
suy ra: QM// DB 
ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC 
suy ra: MN// AC 
ta có PN là đường trung bình của tam giác BCD 
suy ra: PN// DB 
ta có PQ là đường trung bình của tam giác ADC 
suy ra: PQ// AC 
từ đó ta có : QM//PN(cùng song song DB) 
MN//PQ(cùng song song AC) 
suy ra MNPQ là hình bình hành 
QM//DB suy ra:góc AKB=góc AFM=90 độ 
MN//AC suy ra:góc AFM= góc FMN= 90 độ 
hình bình hành MNPQ có góc FMN=90 độ 
suy ra MNPQ là hình chữ nhật 
b)thuận:giả sử 
MNPQ là hình vuông 
suy ra MN=QM 
ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC 
suy ra MN=1/2*AC 
ta có QM là đường trung bình của tam giác ADC 
suy ra QM=1/2*BD 
MN=QM 
suy ra BD= AC 
vậy tứ giác ABCD cần thêm điều kiện là AC=BD để MNPQ là hình vuông 

Answer 2

thanks bạn mình k rùi đó