Question

Cho tổng a = 3 + 3 ^ 2 + 3 ^ 3 + ...... + 3 ^ 2021. Tìm số dư khi chia tổng a cho 13

Answer 1

Ta có : A + 1 = 1 + 3 + 3² + 3³ + 3⁴ + 3⁵ + ... + 3²⁰¹⁹ +3 ²⁰²⁰ +  3²⁰²¹ 

= (1 + 3 + 3²) + (3³ + 3⁴ + 3⁵) + ...+  (3²⁰¹⁹ + 3²⁰²⁰ +  3²⁰²¹) 

=  (1 + 3 + 3²) + 3³(1 + 3 + 3²) + ... + 3²⁰¹⁹(1 + 3 + 3²) 

=  (1 + 3 + 3²)(1 + 3³ + ... + 3²⁰¹⁹) 

= 13(1 + 3³ + ... + 3²⁰¹⁹) ⋮ 13

=> A + 1 ⋮13 

=> A : 13 dư 12 

Vậy số dư khi A : 13 là 12

Answer 2

Số số hạng của A:

2021 - 1 + 1 = 2021 (số)

Do 2021 chia 3 dư 2 nên ta có thể nhóm các số hạng của A thành từng nhóm mà mỗi nhóm có 3 số hạng và dư 2 số hạng như sau:

A = 3 + 3² + (3³ + 3⁴ + 3⁵) + (3⁶ + 3⁷ + 3⁸) + ... + (3²⁰¹⁹ + 3²⁰²⁰ + 3²⁰²¹)

= 12 + 3³.(1 + 3 + 3²) + 3⁶.(1 + 3 + 3²) + ... + 3²⁰¹⁹.(1 + 3 + 3²)

= 12 + 3³.13 + 3⁶.13 + ... + 3²⁰¹⁹.13

= 12 + 13.(3³ + 3⁶ + ... + 3²⁰¹⁹)

Do 13.(3³ + 3⁶ + ... + 3²⁰¹⁹) ⋮ 13

⇒ A = 12 + 13.(3³ + 3⁶ + ... + 3²⁰¹⁹) chia 13 dư 12

Vậy A chia 13 dư 12