Question

cho tam giác ABC vuông tại A. trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE=BA , trên tia BA lấy điểm F sao cho BF=BC. kẻ BD là tia phân giác của góc ABC (D thuộc AC).

chứng minh rằng : a) DEvuoong góc với BC ; AE vuông góc với BD

b) AD< DC

c) tam giác ADF =tam giác EDC

d) E , D , F thăng hàng

Answer 1

a) Xét tam giác \(ABD\)và tam giác \(EBD\)có: 

\(AB=EB\)

\(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\)

\(BD\)cạnh chung

\(\Rightarrow\Delta ABD=\Delta EBD\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{DEB}=\widehat{DAB}=90^o\)

do đó \(DE\perp BC\).

\(DE=DA\Rightarrow D\)thuộc đường trung trực của \(AE\).

\(BA=BE\)suy ra \(B\)thuộc đường trung trực của \(AE\).

Do đó \(BD\)là đường trung trực của \(AE\)nên \(AE\)vuông góc với \(BD\).

b) \(AD=DE< DC\)(cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền) 

c) Xét tam giác \(ADF\)và tam giác \(EDC\)có: 

\(DA=DE\)

\(CE=FA\)

\(\widehat{DAF}=\widehat{DEC}\left(=90^o\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ADF=\Delta EDC\left(c.g.c\right)\)

d) \(\Delta ADF=\Delta EDC\)suy ra \(\widehat{CDE}=\widehat{ADF}\)mà hai góc này ở vị trí đối đỉnh nên \(E,D,F\)thẳng hàng.