Question

Cho tam giác ABC vuông tại A lấy điểm M là trung điểm của AC Trên tia đối của tia MB lấy điểm D sao cho MD = MB. a) chứng minh rằng tam giác ABC bằng tam giác CDM . b) so sánh độ dài BC và BA Từ đó so sánh độ dài BC và CD. c) Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CE = CA. Gọi I là trung điểm của De. Chứng minh rằng ba điểm B,C,I thẳng hàng.

Answer 1

  

 a) Sửa đề: Chứng minh ∆ABM = ∆CDM

Do M là trung điểm của AC (gt)

⇒ MA = MC

Xét ∆ABM và ∆CDM có:

BM = DM (gt)

∠AMB = ∠CMD (đối đỉnh)

MA = MC (cmt)

⇒ ∆ABM = ∆CDM (c-g-c)

b) ∆ABC vuông tại A (gt)

⇒ BC là cạnh huyền nên là cạnh lớn nhất

⇒ BC > BA

Do ∆ABM = ∆CDM (cmt)

⇒ AB = CD (hai cạnh tương ứng)

Mà BC > BA (cmt)

⇒ BC > CD

c) Do ∆ABM = ∆CDM (cmt)

⇒ ∠ABM = ∠CDM (hai góc tương ứng)

Mà ∠ABM và ∠CDM là hai góc so le trong

⇒ AB // CD

Mà AB ⊥ AC (∆ABC vuông tại A)

⇒ CD ⊥ AE

Gọi F là giao điểm của CD và BE

⇒ CF ⊥ AE

Xét hai tam giác vuông: ∆FCA và ∆FCE có:

CA = CE (gt)

CF là cạnh chung

⇒ ∆FCA = ∆FCE (hai cạnh góc vuông)

⇒ ∠CFA = ∠CFE (hai góc tương ứng)

⇒ FC là tia phân giác của ∠AFE

∆FAE có:

FC là đường cao (do FC ⊥ AE)

FC là đường phân giác (cmt)

⇒ ∆FAE cân tại F

⇒ FA = FE

Do AB // CD (cmt)

⇒ AB // CF

⇒ ∠FAB = ∠CFA (so le trong)

∠FBA = ∠CFE (đồng vị)

Mà ∠CFA = ∠CFE (cmt)

⇒ ∠FAB = ∠FBA

⇒ ∆FAB cân tại F

⇒ FA = FB

Mà FA = FE (cmt)

⇒ FB = FE

⇒ F là trung điểm của BE

Do MB = MD (gt)

⇒ M là trung điểm của BD

∆BDE có:

DF là đường trung tuyến của ∆BDE (do F là trung điểm của BE)

EM là đường trung tuyến của ∆BDE (do M là trung điểm của BD)

Mà DF và EM cắt nhau tại C

⇒ BC là đường trung tuyến thứ ba của ∆BDE

Lại có:

I là trung điểm của DE (gt)

⇒ B, C, I thẳng hàng (tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)

Answer 2