Question

Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB<AC) đường cao AH . Từ H kẻ HM vuông góc với AB tại M và HN vuông góc với AC tại N . Gọi  I là trung điểm của HC, K là điểm đối xứng với A qua I 
a) chứng minh AC//HK

b) chứng minh tứ giác MNCK là hình thang cân 

Answer 1

   

a) Do A và K đối xứng nhau qua I

Suy ra I là trung điểm AK

Xét tứ giác ACKH có:

I là trung điểm AK (cmt)

I là trung điểm HC (gt)

Suy ra ACKH là hình bình hành

Suy ra AC // HK

b) Do ACKH là hình bình hành (cmt)

Suy ra góc CKH = góc CAH (hai góc đối của hình bình hành)   (1)

Xét tứ giác AMHN có:

góc AMH = góc MAN = góc ANH = 90⁰ (gt)

Suy ra AMHN là hình chữ nhật

Gọi D là giao điểm của AH và MN

Suy ra D là trung điểm của AH và MN

Mà AH = MN (hai đường chéo của hình chữ nhật)

Suy ra AD = HD = MD = ND

Tam giác ADN có AD = ND

Suy ra tam giác ADN cân tại D

Suy ra góc DAN = góc DNA

Suy ra góc HAC = góc DNA

Lại có góc HMN = góc DNA (so le trong)

Suy ra góc HMN = góc HAC   (2)

Từ (1) và (2) suy ra góc KMN = góc CKM

Tứ giác MNCK có:

CN // KM (do AC // HK)

Suy ra MNCK là hình thang

Mà góc KMN = góc CKM (cmt)

Suy ra MNCK là hình thang cân