Question

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC).Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD  = AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE  = AC.

a)      Chứng minh : BC = DE.

b)      Chứng minh : tam giác ABD vuông cân và BD // CE.

c)      Kẻ đường cao AH của tam giác ABC tia AH cắt cạnh DE tại M. từ A kẻ đường vuông góc CM tại K, đường thẳng này cắt BC tại N . Chứng minh : NM // AB.

d)     Chứng minh : AM = DE/2.

Answer 1

GIẢI:

 

a) Xét Δ ABC và Δ AED, ta có :

 (đối đỉnh)

AB = AD (gt)

AC = AD (gt)

=> Δ ABC = Δ AED (hai cạnh góc vuông)

=> BC = DE

Xét Δ ABD, ta có :

 (Δ ABC vuông tại A)

=> AD  AE

=>  

=> Δ ABD vuông tại A.

mà : AB = AD (gt)

=> Δ ABD vuông cân tại A.

=>

cmtt : 

=> 

mà :  ở vị trí so le trong

=> BD // CE

b) Xét Δ MNC, ta có :

NK  MC = > NK là đường cao thứ 1.

MH  NC = > MH là đường cao thứ 2.

NK cắt MH tại A.

=> A là trực tâm. = > CA là đường cao thứ 3.

=> MN  AC tại I.

mà : AB  AC

=> MN // AB.

c) Xét Δ AMC, ta có :

  (đối đỉnh)

 (Δ ABC = Δ AED)

=> (cùng phụ góc ABC)

=> Δ AMC cân tại M

=> AM = ME (1)

Xét Δ AMI và Δ DMI, ta có :

 (MN  AC tại I)

IM cạnh chung.

mặt khác :  (so le trong)

 (đồng vị)

mà :  (cmt)

=> 

=> Δ AMI = Δ DMI (góc nhọn – cạnh góc vuông)

=> MA = MD (2)

từ (1) và (2), suy ta : MA = ME = MD

ta lại có : ME = MD = DE/2 (D, M, E thẳng hàng)

=>MA = DE/2.