Question

Cho tam giác ABC vuông A,(AB<AC) có đường cao AH.Vẽ đường tròn tâm B,bán kính BA,đường tròn này cắt AH tại điểm thứ 2 là D
a,C/m CD tiếp xúc với (B,BA)
b,Gọi I là đối xứng của B qua AH,đường thẳng AI cắt CD tại E.C/m:A,H,E,C cùng thuộc đường tròn.Suy ra AB là tiếp tuyến của đường tròn này

Answer 1

a: ΔBAD cân tại B

mà BH là đường cao

nên BH là phân giác của góc ABD

XétΔCAB và ΔCDB có

BA=BD

\(\widehat{ABC}=\widehat{DBC}\)

BC chung

Do đó: ΔCAB=ΔCDB

=>\(\widehat{CAB}=\widehat{CDB}=90^0\)

=>CD là tiếp tuyến của (B;BA)

b: I đối xứng B qua AH

=>AH là đường trung trực của BI

=>AH\(\perp\)BI tại trung điểm của BI

mà AH\(\perp\)BC

và BC,BI có điểm chung là B

nên B,I,C thẳng hàng

AH\(\perp\)BI tại trung điểm của BI

=>AH\(\perp\)BC tại trung điểm của BI

mà AH\(\perp\)BC tại H

nên H là trung điểm của BI

ΔBAD cân tại B

mà BH là đường cao

nên H là trung điểm của AD

Xét tứ giác ABDI có

H là trung điểm chung của AD và BI

nên ABDI là hình bình hành

Hình bình hành ABDI có BA=BD

nên ABDI là hình thoi

=>ID//AB

mà AB\(\perp\)AC

nên ID\(\perp\)AC

Xét ΔCAD có

CH,DI là đường cao

CH cắt DI tại I

Do đó: I là trực tâm của ΔCAD

=>AI\(\perp\)CD tại E

Gọi K là trung điểm của AC
=>K là tâm của đường tròn đường kính AC

Xét tứ giác AHEC có \(\widehat{AHC}=\widehat{AEC}=90^0\)

nên AHEC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AC

=>A,H,E,C cùng thuộc đường tròn tâm K, đường kính AC

Xét (K) có

AC là đường kính

AB\(\perp\)AC tại A

Do đó: AB là tiếp tuyến của (K)