Cho tam giác ABC nhọn, có đường cao AI. Từ A kẻ tia Ax vuông góc với AC, từ B kẻ tia By song song với AC. Gọi M là giao điểm của tia Ax và tia By. Nối M với trung điểm P của AB, đường MP cắt AC tại Q và BQ cắt AI tại H.
a)Chứng minh tứ giác AQHM là hình thang.
b)Tứ giác AMBQ là hình gì ? Vì sao? c) Chứng minh tam giác PIQ cân.
a: Xét ΔPAQ và ΔPBM có
\(\widehat{PAQ}=\widehat{PBM}\)(hai góc so le trong, AQ//BM)
PA=PB
\(\widehat{APQ}=\widehat{BPM}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔPAQ=ΔPBM
=>PQ=PM
=>P là trung điểm của QM
Xét tứ giác AMBQ có
P là trung điểm chung của AB và MQ
=>AMBQ là hình bình hành
=>BQ//AM
=>QH//AM
=>AQHM là hình thang
b: Hình bình hành AMBQ có \(\widehat{MAQ}=90^0\)
nên AMBQ là hình chữ nhật
c: AMBQ là hình chữ nhật
=>MQ=AB
mà \(PQ=\dfrac{MQ}{2}\)
nên \(PQ=\dfrac{AB}{2}\left(1\right)\)
ΔAIB vuông tại I
mà IP là đường trung tuyến
nên \(IP=\dfrac{AB}{2}\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra PI=PQ
=>ΔPIQ cân tại P