Question

Cho tam giác ABC nhọn có AB<AC gọi N là trung điểm của AC lây điểm D trên tia BN sao cho BN=ND

A) cmr ABCD là hình bình hành

B) kẻ AP vuông góc với BC, kẻ CQ vuông góc với AD, CMR: P,N,Q thẳng hàng

C) tam giác ABC cần thêm điều kiện gì để tứ giác ABCD là hình vuông

Answer 1

a: Xét tứ giác ABCD có

N là trung điểm chung của AC và BD

=>ABCD là hình bình hành

b: Ta có: ABCD là hình bình hành

=>AD//BC

Ta có: AD//BC

AP\(\perp\)BC

Do đó: AP\(\perp\)AD

Ta có: AP\(\perp\)AD

CQ\(\perp\)AD

Do đó: AP//CQ

ta có: AD//CB

\(Q\in\)AD

P\(\in\)BC

Do đó: AQ//CP

Xét tứ giác APCQ có

AP//CQ

AQ//CP

Do đó: APCQ là hình bình hành

=>AC cắt PQ tại trung điểm của mỗi đường

mà N là trung điểm của AC

nên N là trung điểm của PQ

=>P,N,Q thẳng hàng

c: Để hình bình hành ABCD trở thành hình vuông thì ABCD vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi(1)

Hình bình hành ABCD trở thành hình chữ nhật khi \(\widehat{ABC}=90^0\)(2)

Hình bình hành ABCD trở thành hình thoi khi BA=BC(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABC}=90^0\\BA=BC\end{matrix}\right.\)