Gọi giao điểm thứ hai của AD và (O) là H
Xét (O) có
\(\widehat{BAH}\) là góc nội tiếp chắn cung BH
\(\widehat{CAH}\) là góc nội tiếp chắn cung CH
\(\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\)
Do đó: \(sđ\stackrel\frown{BH}=sđ\stackrel\frown{CH}\)
Xét (O) có
\(\widehat{BDA}\) là góc có đỉnh ở trong đường tròn chắn hai cung BA và HC
=>\(\widehat{BDA}=\dfrac{1}{2}\left(sđ\stackrel\frown{BA}+sđ\stackrel\frown{HC}\right)=\dfrac{1}{2}\left(sđ\stackrel\frown{BA}+sđ\stackrel\frown{HB}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot sđ\stackrel\frown{AH}\left(1\right)\)
Xét (O) có \(\widehat{SAH}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AS và dây cung AH
nên \(\widehat{SAH}=\dfrac{1}{2}\cdot sđ\stackrel\frown{AH}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{SAD}=\widehat{SDA}\)
=>SA=SD
Xét (O) có
\(\widehat{SAB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AS và dây cung AB
\(\widehat{ACB}\) là góc nội tiếp chắn cung AB
Do đó: \(\widehat{SAB}=\widehat{ACB}\)
Xét ΔSAB và ΔSCA có
\(\widehat{SAB}=\widehat{SCA}\)
\(\widehat{ASB}\) chung
Do đó: ΔSAB~ΔSCA
=>\(\dfrac{SA}{SC}=\dfrac{SB}{SA}\)
=>\(SA^2=SB\cdot SC\)
=>\(SD^2=SB\cdot SC\)
Xét hai tam giác SAB và SCA có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{S}\text{ chung}\\\widehat{SAB}=\widehat{SCA}\left(\text{cùng chắn AB}\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta SAB\sim\Delta SCA\left(g.g\right)\Rightarrow\dfrac{SA}{SC}=\dfrac{SB}{SA}\)
\(\Rightarrow SA^2=SB.SC\) (1)
Lại có: \(\widehat{SDA}=\widehat{DAC}+\widehat{SCA}\) (góc ngoài của tam giác)
Mà \(\widehat{DAC}=\widehat{DAB}\) (AD là phân giác)
\(\widehat{SCA}=\widehat{SAB}\) (cùng chắn AB)
\(\widehat{DAB}+\widehat{SAB}=\widehat{SAD}\)
\(\Rightarrow\widehat{SAD}=\widehat{SDA}\)
\(\Rightarrow\Delta SAD\) cân tại S
\(\Rightarrow SA=SD\) (2)
(1);(2) \(\Rightarrow SD^2=SB.SC\)
