Question

Cho tam giác ABC nhọn. 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. M là trung điểm BC. S là giao điểm của EF và BC. Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ASM.

Answer 1

Ta cần chứng minh H là trực tâm của tam giác ASM. Với mục đích này, ta sẽ sử dụng tính chất của hình chữ nhật.

Vì M là trung điểm BC, ta có BM = MC. Do đó, SM là đường trung trực của BC.

Vì EF ⊥ BE và CF, nên EF song song với đường BC (vì BE // CF). Do đó, S nằm trên đường trung trực của BC.

Vì H là giao điểm của AD và BE, ta có AH  ⊥ BC và BH ⊥ AC. Do đó, AH // SM và BH // SM.

Khi đó, ta suy ra được rằng tứ giác ABSH là hình chữ nhật (do có 2 cặp cạnh đối nhau là song song và bằng nhau).

Do AS là đường chéo của hình chữ nhật ABSH, nên H là trực tâm của tam giác ASM.

Vậy, H là trực tâm của tam giác ASM.