Question

Cho tam giác ABC. Gọi H là điểm đối xứng với B qua G với G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng: vecto AH = 2/3 vecto AC - 1/3 vecto AB 

Answer 1

Gọi M là trung điểm BC

\(\Rightarrow\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}\)

\(\overrightarrow{AM}=\dfrac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}\)

mà \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}\) (G là trọng tâm tam giác ABC)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}\right)=\dfrac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{3}\left(1\right)\)

Xét tam giác ABH, có AG là trung tuyến nên :

\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{AG}\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AB}\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{AH}=2.\dfrac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{3}-\overrightarrow{AB}\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{AH}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\left(đpcm\right)\)

Answer 2

Trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \) có tọa độ được xác định bởi trung bình cộng của các tọa độ đỉnh:

\[
\vec{G} = \frac{1}{3}(\vec{A} + \vec{B} + \vec{C})
\]

Do \( H \) là điểm đối xứng của \( B \) qua \( G \), nên vector \( \vec{H} \) được xác định bằng:

\[
\vec{H} = 2\vec{G} - \vec{B}
\]

\[
\vec{H} = 2\left(\frac{1}{3}(\vec{A} + \vec{B} + \vec{C})\right) - \vec{B}
\]

\[
= \frac{2}{3}(\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}) - \vec{B}
\]

\[
= \frac{2}{3}\vec{A} + \frac{2}{3}\vec{B} + \frac{2}{3}\vec{C} - \vec{B}
\]

\[
= \frac{2}{3}\vec{A} + \frac{2}{3}\vec{C} - \frac{1}{3}\vec{B}
\]

\[
\vec{AH} = \vec{H} - \vec{A}
\]

\[
\vec{AH} = \left(\frac{2}{3}\vec{A} + \frac{2}{3}\vec{C} - \frac{1}{3}\vec{B}\right) - \vec{A}
\]

\[
= \frac{2}{3}\vec{A} + \frac{2}{3}\vec{C} - \frac{1}{3}\vec{B} - \vec{A}
\]

\[
= \left(\frac{2}{3}\vec{A} - \vec{A}\right) + \frac{2}{3}\vec{C} - \frac{1}{3}\vec{B}
\]

\[
= -\frac{1}{3}\vec{A} + \frac{2}{3}\vec{C} - \frac{1}{3}\vec{B}
\]

\[
= \frac{2}{3}\vec{C} - \frac{1}{3}(\vec{A} + \vec{B})
\]

\[
= \frac{2}{3}\vec{C} - \frac{1}{3}\vec{A} - \frac{1}{3}\vec{B}
\]

\[
\vec{AH} = \frac{2}{3}\vec{AC} - \frac{1}{3}\vec{AB}
\]